1.（2002上海春，13）若a、b、c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（    ）

A.（a+b）+c=a+（b+c）                B.（a+b）?c=a?c+b?c

C.m（a+b）=ma+mb                       D.（a?b）c=a（b?c）

2.（2002天津文12，理10）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（－1，3），若點(diǎn)C滿足，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（    ）

A.3x+2y－11=0                                      B.（x－1）²+（y－2）²=5

C.2x－y=0                                       D.x+2y－5=0

3.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，－1），則向量2b－a的坐標(biāo)是（    ）

A.（3，－4）                                 B.（－3，4）  

C.（3，4）                                     D.（－3，－4）

4.（2001江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y²=2x與過焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則等于（    ）

A.                          B.－                       C.3                            D.－3

5.（2001上海）如圖5―1，在平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若=a，=b，=c.則下列向量中與相等的向量是（    ）

A.－a+b+c                                              B. a+b+c

C. a－b+c                                               D.－a－b+c

6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2），則c等于（    ）

A.－a+b                                        B.a－b  

C. a－b                                         D.－a+b

7.(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

①（a?b）c－（c?a）b=0  ②|a|－|b|<|a－b|  ③（b?c）a－（c?a）b不與c垂直

④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|²－4|b|²中，是真命題的有（    ）

A.①②                      B.②③                       C.③④                       D.②④

8.（1997全國，5）如果直線l沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)單位，再沿y軸正方向平移1個(gè)單位后，又回到原來的位置，那么直線l的斜率為（    ）

A.－                        B.－3                               C.                          D.3

9.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夾角為120°，且|a|=2，|b|=5，則（2a－b）?a=_____.

10.（2001上海春，8）若非零向量α、β滿足|α+β|=|α－β|，則α與β所成角的大小為_____.

11.（2000上海，1）已知向量=（－1，2），=（3，m），若⊥，則m=    .

12.（1999上海理，8）若將向量a=（2，1）圍繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則向量b的坐標(biāo)為_____.

13.（1997上海，14）設(shè)a=（m+1）i－3j，b=i+（m－1）j，（a+b）⊥（a－b），則m=_____.

14.（1996上海，15）已知a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j，那么a?b=_____.

15.（1996上海，15）已知O（0，0）和A（6，3）兩點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線OA上，且，又P是線段OB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_____.

 16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABC―A₁B₁C₁，在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，={0，0，n}.（其中m、n>0）.如圖5―2.

（1）證明：三棱柱ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱；

（2）若m=n，求直線CA₁與平面A₁ABB₁所成角的大小.

17.（2002上海春，19）如圖5―3，三棱柱OAB―O₁A₁B₁，平面OBB₁O₁⊥平面OAB，∠O₁OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO₁=2，OA=.求：

（1）二面角O₁―AB―O的大小；

（2）異面直線A₁B與AO₁所成角的大小.

（上述結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

18.（2002上海，17）如圖5―4，在直三棱柱ABO―A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是線段A′B′的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB′上的一點(diǎn)，若OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

圖5―3             圖5―4         圖5―5

19.（2002天津文9，理18）如圖5―5，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的底面邊長為a，側(cè)棱長為a.

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A、B、A₁、C₁的坐標(biāo)；

（2）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角.

20.（2002天津文22，理21）已知兩點(diǎn)M（－1，0），N（1，0），且點(diǎn)P使

成公差小于零的等差數(shù)列.

（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），θ為與的夾角，求tanθ.

21.（2001江西、山西、天津理）如圖5―6，以正四棱錐V―ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O―xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E為VC的中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a，高為h.

（1）求cos< >；

（2）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，求∠BED.

圖5―6           圖5―7             圖5―8

22.（2001上海春）在長方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E、F分別在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求證：A₁C⊥平面AEF；

（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角）.則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等.

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時(shí)，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小.（用反三角函數(shù)值表示）

23.（2001上海）在棱長為a的正方體OABC―O′A′B′C′中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF.如圖5―8.

（1）求證：A′F⊥C′E.

（2）當(dāng)三棱錐B′―BEF的體積取得最大值時(shí)，求二面角B′―EF―B的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）

24.（2000上海春，21）四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.

（1）求證：PA⊥底面ABCD；

（2）求四棱錐P―ABCD的體積；

（3）對(duì)于向量a={x₁，y₁，z₁}，b={x₂，y₂，z₂}，c={x₃，y₃，z₃}，定義一種運(yùn)算：

（a×b）?c=x₁y₂z₃+x₂y₃z₁+x₃y₁z₂－x₁y₃z₂－x₂y₁z₃－x₃y₂z₁，試計(jì)算（×）?的絕對(duì)值的值；說明其與四棱錐P―ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算（×）?的絕對(duì)值的幾何意義.

25.（2000上海，18）如圖5―9所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos，求四面體ABCD的體積.

圖5―9        圖5―10          圖5―11

26.（2000天津、江西、山西）如圖5―10所示，直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點(diǎn).

（1）求的長；

（2）求cos< >的值；

（3）求證：A₁B⊥C₁M.

27.（2000全國理，18）如圖5―11，已知平行六面體ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD=60°.

（1）證明：C₁C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC₁=，記面C₁BD為α，面CBD為β，求二面角α―BD―β的平面角的余弦值；

（3）當(dāng)的值為多少時(shí)，能使A₁C⊥平面C₁BD？請(qǐng)給出證明.

28.（1999上海，20）如圖5―12，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角.

（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；

（2）求異面直線AE與CD所成角的大小.

29.（1995上海，21）如圖5―13在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（，0），點(diǎn)D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（1）求向量的坐標(biāo)；

（2）設(shè)向量和的夾角為θ，求cosθ的值.

●答案解析

1.答案：D

解析：因?yàn)椋?b>a?b）c=|a|?|b|?cosθ?c而a（b?c）=|b|?|c|?cosα?a而c方向與a方向不一定同向.

評(píng)述：向量的積運(yùn)算不滿足結(jié)合律.

2.答案：D

解析：設(shè)=（x，y），=（3，1），=（－1，3），α=（3α，α），

β=（－β，3β）

又α+β=（3α－β，α+3β）

∴（x，y）=（3α－β，α+3β），∴

又α+β=1  因此可得x+2y=5

評(píng)述：本題主要考查向量法和坐標(biāo)法的相互關(guān)系及轉(zhuǎn)換方法.

3.答案：D

解析：設(shè)（x，y）=2b－a=2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4）.

評(píng)述：考查向量的坐標(biāo)表示法.

4.答案：B

解法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB所在直線方程為y=k（x－），則=x₁x₂+y₁y₂.又，得k²x²－（k²+2）x+=0，∴x₁?x₂=，而y₁y₂=k（x₁－）k（x₂－）=k²（x₁－）（x₂－）=－1.∴x₁x₂+y₁y₂=－1=－.

解法二：因?yàn)橹本�AB是過焦點(diǎn)的弦，所以y₁?y₂=－p²=－1.x₁?x₂同上.

評(píng)述：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

5.答案：A

解析：=c+（－a+b）=－a+b+c

評(píng)述：用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力.

6.答案：B

解析：設(shè)c=ma+nb，則（－1，2）=m（1，1）+n（1，－1）=（m+n，m－n）.

∴  ∴

評(píng)述：本題考查平面向量的表示及運(yùn)算.

7.答案：D

解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假；

②由向量的減法運(yùn)算可知|a|、|b|、|a－b|恰為一個(gè)三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；

③因?yàn)椋郏?b>b?c）a－（c?a）b］?c=（b?c）a?c－（c?a）b?c=0，所以垂直.故③假；

④（3a+2b）（3a－2b）=9?a?a－4b?b=9|a|²－4|b|²成立.故④真.

評(píng)述：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律.

8.答案：A

解析：設(shè)直線l的方程為y=kx+b（此題k必存在），則直線向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后，直線方程應(yīng)為y=k（x+3）+b+1即y=kx+3k+b+1

因?yàn)榇酥本�與原直線重合，所以兩方程相同.比較常數(shù)項(xiàng)得3k+b+1=b.∴k=－.

評(píng)述：本題考查平移變換與函數(shù)解析式的相互關(guān)系.

9.答案：13

解析：∵（2a－b）?a=2a²－b?a=2|a|²－|a|?|b|?cos120°=2?4－2?5（－）=13.

評(píng)述：本題考查向量的運(yùn)算關(guān)系.

10.答案：90°

解析：由|α+β|=|α－β|，可畫出幾何圖形，如圖5―14.

|α－β|表示的是線段AB的長度，|α+β|表示線段OC的長度，由|AB|=|OC|

∴平行四邊形OACB為矩形，故向量α與β所成的角為90°

評(píng)述：本題考查向量的概念，向量的幾何意義，向量的運(yùn)算.這些知識(shí)不只在學(xué)習(xí)向量時(shí)用到，而且在復(fù)數(shù)、物理學(xué)中也是一些最基本的知識(shí).

11.答案：4

解析：∵={－1，2}，={3，m}，={4，m－2}，又⊥，

∴－1×4+2（m－2）=0，∴m=4.

評(píng)述：本題考查向量的概念，向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積及兩向量垂直的充要條件.

12.答案：（）

解析：設(shè)a==2+i，b=，由已知、的夾角為，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得=（cos+isin）=（2+i）.

∴b=（）

評(píng)述：本題考查向量的概念，向量與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查變通、變換等數(shù)學(xué)方法，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

13.答案：－2

解析：由題意，得

∵（a+b）⊥（a－b），∴（m+2）×m+（m－4）（－m－2）=0，∴m=－2.

評(píng)述：本題考查平面向量的加、減法,平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算,兩向量垂直的充要條件.

14.答案：－63

解析：解方程組

得

∴a?b=（－3）×5+4×（－12）=－63.

評(píng)述：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及求法.

15.答案：（4，2）

解析：設(shè)P（x，y），由定比分點(diǎn)公式，

則P（2，1），又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得B（4，2）.

16.（1）證明：∵，∴| |=m，

又

∴||=m，||=m，∴△ABC為正三角形.

又?=0，即AA₁⊥AB，同理AA₁⊥AC，∴AA₁⊥平面ABC，從而三棱柱ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱.

（2）解：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)CO、A₁O.

∵CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABB₁A₁，∴CO⊥平面ABB₁A₁，即∠CA₁O為直線CA₁與平面A₁ABB₁所成的角.

在Rt△CA₁O中，CO=m，CA₁=，

∴sinCA₁O=，即∠CA₁O=45°.

17.解：（1）取OB的中點(diǎn)D，連結(jié)O₁D，

則O₁D⊥OB.

∵平面OBB₁O₁⊥平面OAB，

∴O₁D⊥平面OAB.

過D作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)O₁E.

則O₁E⊥AB.

∴∠DEO₁為二面角O₁―AB―O的平面角.

由題設(shè)得O₁D=，

sinOBA=，

∴DE=DBsinOBA=

∵在Rt△O₁DE中，tanDEO₁=，

∴∠DEO₁=arctan，即二面角O₁―AB―O的大小為arctan.

（2）以O點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以OA、OB所在直線為x、y軸，過O點(diǎn)且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖5―15.則

O（0，0，0），O₁（0，1，），A（，0，0），A₁（，1，），B（0，2，0）.

設(shè)異面直線A₁B與AO₁所成的角為α，

則，

cosα=，

∴異面直線A₁B與AO₁所成角的大小為arccos.

18.解法一：如圖5―16，以O點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意，有B（3，0，0），D（，2，4），設(shè)P（3，0，z），則

={－，2，4}，={3，0，z}.

∵BD⊥OP，∴?=－+4z=0，z=.

∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP與底面AOB所成的角.

tanPOB=，∴∠POB=arctan.

解法二：取O′B′中點(diǎn)E，連結(jié)DE、BE，如圖5―17，則

DE⊥平面OBB′O′，

∴BE是BD在平面OBB′O′內(nèi)的射影.

又∵OP⊥BD.

由三垂線定理的逆定理，得OP⊥BE.

在矩形OBB′O′中，易得Rt△OBP∽R(shí)t△BB′E，

∴，得BP=.

（以下同解法一）

19.解：（1）如圖5―18，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA₁所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由已知，得

A（0，0，0），B（0，a，0），A₁（0，0， a），C₁（）.

（2）坐標(biāo)系如圖，取A₁B₁的中點(diǎn)M，于是有M（0， a），連AM，MC₁有

=（－a，0，0），且=（0，a，0），=（0，0， a）

由于?=0，?=0，所以MC₁⊥面ABB₁A₁.

∴AC₁與AM所成的角就是AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角.

∵=（），=（0，a），

∴?=0++2a²=a².

而||=.

||=.

∴cos＜，＞=.

所以與所成的角，即AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角為30°.

20.解：（1）記P（x，y），由M（－1，0），N（1，0）得=－=（－1－x，－y），

=－=（1－x，－y），=－=（2，0）

∴?=2（1+x），?=x²+y²－1，?=2（1－x）.

于是，?，?，?是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于

即

所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓.

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀）.

?=x₀²+y₀²－1=2.

||?||=.

∴cosθ=

21.解：（1）由題意知B（a，a，0），C（－a，a，0），D（－a，－a，0），E（）.

由此得，

∴，

.

由向量的數(shù)量積公式有

cos< >＝

（2）若∠BED是二面角α―VC―β的平面角，則，則有＝0.

又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有＝（a，－a，h）且，

∴.

即h＝a，這時(shí)有

cos<>＝，

∴∠BED＝<>＝arccos（）＝π－arccos

評(píng)述：本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及兩個(gè)向量夾角的計(jì)算方法；考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.

22.（1）證明：因?yàn)?i>CB⊥平面A₁B，所以A₁C在平面A₁B上的射影為A₁B.

由A₁B⊥AE，AE平面A₁B，得A₁C⊥AE.

同理可證A₁C⊥AF.

因?yàn)?i>A₁C⊥AF，A₁C⊥AE，

所以A₁C⊥平面AEF.

（2）解：過A作BD的垂線交CD于G，因?yàn)?i>D₁D⊥AG，所以AG⊥平面D₁B₁BD.

設(shè)AG與A₁C所成的角為α，則α即為平面AEF與平面D₁B₁BD所成的角.

由已知，計(jì)算得DG=.

如圖5―19建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)A（0，0，0），G（，3，0），A₁（0，0，5），

C（4，3，0）.

AG={，3，0}，A₁C={4，3，－5}.

因?yàn)?i>AG與A₁C所成的角為α，

所以cosα=.

由定理知，平面AEF與平面D₁B₁BD所成角的大小為arccos.

注：沒有學(xué)習(xí)向量知識(shí)的同學(xué)可用以下的方法求二面角的平面角.

解法一：設(shè)AG與BD交于M，則AM⊥面BB₁D₁D，再作AN⊥EF交EF于N，連接MN，則∠ANM即為面AEF與D₁B₁BD所成的角α，用平面幾何的知識(shí)可求出AM、AN的長度.

解法二：用面積射影定理cosα=.

評(píng)述：立體幾何考查的重點(diǎn)有三個(gè)：一是空間線面位置關(guān)系的判定；二是角與距離的計(jì)算；三是多面體與旋轉(zhuǎn)體中的計(jì)算.

23.建立坐標(biāo)系，如圖5―20.

（1）證明：設(shè)AE=BF=x，則A′（a，0，a），F（a－x，a，0），C′（0，a，a），E（a，x，0）

∴={－x，a，－a}，={a，x－a，－a}.

∵?=－xa+a（x－a）+a²=0

∴A′F⊥C′E

（2）解：設(shè)BF=x，則EB=a－x

三棱錐B′―BEF的體積

V=x（a－x）?a≤（）²=a³

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，等號(hào)成立.

因此，三棱錐B′―BEF的體積取得最大值時(shí)BE=BF=，過B作BD⊥EF于D，連

B′D，可知B′D⊥EF.∴∠B′DB是二面角B′―EF―B的平面角在直角三角形BEF中，直角邊BE=BF=，BD是斜邊上的高.∴BD=a.

∴tanB′DB=

故二面角B′―EF―B的大小為arctan2.

評(píng)述：本題考查空間向量的表示、運(yùn)算及兩向量垂直的充要條件.二次函數(shù)求最值或均值不等式求最值，二面角等知識(shí).考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算能力.用空間向量的觀點(diǎn)處理立體幾何中的線面關(guān)系，把幾何問題代數(shù)化，降低了立體幾何的難度.本題考查的線線垂直等價(jià)于?=0，使問題很容易得到解決.而體積的最值除用均值不等式外亦可用二次函數(shù)求最值的方法處理.二面角的平面角的找法是典型的三垂線定理找平面角的方法，計(jì)算較簡單，有一定的思維量.

24.（1）證明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.

又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.

∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD.

（2）解：設(shè)與的夾角為θ，則

cosθ=

V=||?||?sinθ?||=

（3）解：|（×）?|=|－4－32－4－8|=48它是四棱錐P―ABCD體積的3倍.

猜測：|（×）?|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積（或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積）.

評(píng)述：本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等.主要考查考生的運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力及空間想象能力.

25.解：如圖5―21建立空間直角坐標(biāo)系

由題意，有A（0，2，0）、C（2，0，0）、E（1，1，0）

設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，z）（z>0）

則={1，1，0}，={0，－2，z}，

設(shè)與所成角為θ.

則?=?cosθ=－2，且AD與BE所成的角的大小為arccos.∴cos²θ=，∴z=4，故|BD|的長度為4.

又V_A―BCD=|AB|×|BC|×|BD|=，因此，四面體ABCD的體積為.

評(píng)述：本題考查空間圖形的長度、角度、體積的概念和計(jì)算.以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量的數(shù)量積計(jì)算線段的長度、異面直線所成角等問題，思路自然，解法靈活簡便.

26.解：如圖5―22，建立空間直角坐標(biāo)系O―xyz.

（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）

∴| |=.

（2）依題意得A₁（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B₁（0，1，2）

∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，?=3，||=，||=

∴cos<，>=.

（3）證明：依題意，得C₁（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，

={，0}.

∴?=－+0=0，∴⊥，∴A₁B⊥C₁M.

評(píng)述：本題主要考查空間向量的概念及運(yùn)算的基本知識(shí).考查空間兩向量垂直的充要條件.

27.（1）證明：設(shè)=a，=b，=c，則|a|=|b|，∵=b－a，

∴?=（b－a）?c=b?c－a?c=|b|?|c|cos60°－|a|?|c|cos60°=0，

∴C₁C⊥BD.

（2）解：連AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連OC₁，則∠C₁OC為二面角α―BD―β的平面角.

∵（a+b），（a+b）－c

∴?（a+b）?［（a+b）－c］

=（a²+2a?b+b²）－a?c－b?c

=（4+2?2?2cos60°+4）－?2?cos60°－?2?cos60°=.

則||=，||=，∴cosC₁OC=

（3）解：設(shè)=x，CD=2， 則CC₁=.

∵BD⊥平面AA₁C₁C，∴BD⊥A₁C

∴只須求滿足：=0即可.

設(shè)=a，=b，=c，

∵=a+b+c，=a－c，

∴=（a+b+c）（a－c）=a²+a?b－b?c－c²=－6，令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.

評(píng)述：本題蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化思想，即用向量這個(gè)工具來研究空間垂直關(guān)系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等問題.

28.（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD.∴AB⊥平面PAD.又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD.

（2）解：以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（a，a，0），（0，2a，0）.

∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD與底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°.

于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a.過E作EF⊥AD，垂足為F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）

于是，={－a，a，0}

設(shè)與的夾角為θ，則由cosθ=

∴θ=arccos，即AE與CD所成角的大小為arccos.

評(píng)述：第（2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段.

29.解：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD?sin30°=.

OE=OB－BE=OB－BD?cos60°=1－.

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－），即向量OD[TX→]的坐標(biāo)為{0，－}.

（2）依題意：，

所以.

設(shè)向量和的夾角為θ，則

cosθ=

.

評(píng)述：本題考查空間向量坐標(biāo)的概念，空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及空間向量的夾角公式.解決好本題的關(guān)鍵是對(duì)空間向量坐標(biāo)的概念理解清楚，計(jì)算公式準(zhǔn)確，同時(shí)還要具備很好的運(yùn)算能力.

●命題趨向與應(yīng)試策略

對(duì)本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：

1.以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.

2.以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主.

3.向量在空間中的應(yīng)用（在B類教材中）.在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).

在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.