如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點(diǎn)，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問(wèn)題的運(yùn)用。第一問(wèn)中，

易知，面。由此知：從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點(diǎn)，可以得證。

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連。面面且相交于，面內(nèi)的直線(xiàn)，面。……3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點(diǎn)，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

 

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0），點(diǎn)P（m，n）為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，其中m≥0．
（1）判斷拋物線(xiàn)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）定義：凡是與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的圓都稱(chēng)為該圓錐曲線(xiàn)的伴隨圓，如拋物線(xiàn)的內(nèi)切圓就是最常見(jiàn)的一種伴隨圓．此外還有以焦點(diǎn)弦為直徑的圓，以及以焦點(diǎn)弦為弦且過(guò)頂點(diǎn)的圓等．同類(lèi)的伴隨圓構(gòu)成一個(gè)圓系，圓系中有無(wú)數(shù)多個(gè)圓．求證：拋物線(xiàn)內(nèi)切圓系方程為：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m為參數(shù)且m≥0）；
（3）請(qǐng)研究拋物線(xiàn)以焦點(diǎn)弦為直徑的伴隨圓，推導(dǎo)出其圓系方程，并寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于它的正確命題．

以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中

    ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)；

    ②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

    ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率；

    ④雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).

    其中真命題的序號(hào)為                 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

 

以下同個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中

    ①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)；

    ②過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為

橢圓；

    ③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率；

    ④雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).

    其中真命題的序號(hào)為                 （寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）