解：（1）由題意，

   為的中點(diǎn)

      即：橢圓方程為

   （2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)，四邊形的面積.同理當(dāng)與軸垂直時(shí)，也有四邊形的面積. 當(dāng)直線，均與軸不垂直時(shí)，設(shè):，代入消去得： 設(shè)所以，， 所以，

，同理所以四邊形的面積令因?yàn)?sub>當(dāng)，且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以. 

綜上可知，.故四邊形面積的最大值為4，最小值為.

3（漢沽一中2008~2009屆月考文20）．（本小題滿分14分）

  如圖,過(guò)拋物線x²=4y的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P(0,m)(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

 (1)設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為λ，證明

(2)設(shè)直線AB的方程是x―2y+12=0,過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程．

20、解(Ⅰ)依題意,可設(shè)直線AB的方程為,

代入拋物線方程得： …………… ①       …………………2分

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁,y₁）、(x₂,y₂),則x₁、x₂是方程①的兩根．

所以

由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，

 得， 即…………………4分

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的以稱(chēng)點(diǎn)，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，--m）,從而

          =

                =

               =

  =

          =0，

     所以………………………………………………………7分

 (Ⅱ) 由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（--4，4）．

     由得，

  所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為．…………………………9分

 設(shè)圓C的方程是，

 則　　……………………………11分

  解之得  …………………13分

    所以圓C的方程是．………………………………………………14分

4（2009年濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校聯(lián)考理21）．（本小題滿分14分）

 設(shè)上的兩點(diǎn)，

已知，，若且橢圓的離心率

短軸長(zhǎng)為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).

     (Ⅰ)求橢圓的方程；

    （Ⅱ）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

（Ⅲ）試問(wèn)：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由

解：（Ⅰ）

橢圓的方程為       ……………………3分

（Ⅱ）由題意，設(shè)AB的方程為

由已知得：                                    

    ……7分

(Ⅲ) （1）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即,由得……………………8分

又 在橢圓上，所以

所以三角形的面積為定值……………………9分

（2）.當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b

                            ……………………10分

                  ………………………………………12分    

所以三角形的面積為定值.        ………………………………………14分 

  5（本小題滿分14分）

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)， 是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線、斜率之積為.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,求直線的斜率的取值范圍.

解: (Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，有

 .                ………………… 3分

化簡(jiǎn)并整理，得

.

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程是.           ………………… 5分

 (Ⅱ)解法一：依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零，故可設(shè)其方程為,    …………………………………………………………………………6分

由方程組

   消去，并整理得

設(shè),,則

   ，……………………………………………………… 8分

∴

∴,

,           …………………………………………… 10分

(1)當(dāng)時(shí)，；           …………………………………………… 11分

(2)當(dāng)時(shí),

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分

解法二：依題意，直線過(guò)點(diǎn)且斜率不為零.

(1)   當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，；   …………6分

(2)    當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線方程為,   …………7分

由方程組

   消去，并整理得

設(shè),,則

   ，……………………………………………………… 8分

∴

,

,              ………………… 10分

.

.

且 .                ………………………………………… 13分

綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：.……………… 14分

6（漢沽一中2008~2008學(xué)年月考理18）．（本小題滿分13分）設(shè)A，B分別是直線和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且，動(dòng)點(diǎn)P滿足．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C．

（I） 求軌跡C的方程；

（II）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，16），M、N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

18．（本小題滿分13分）

解：（I）設(shè)P（x，y），因?yàn)锳、B分別為直線和上的點(diǎn)，故可設(shè)

，．

　　　∵，

　　　∴∴………………………4分

　　　又，

　　　∴．……………………………………5分

　　　∴．

　　即曲線C的方程為．………………………………………6分

（II） 設(shè)N（s，t），M（x，y），則由，可得（x，y-16）= (s，t-16)．

     故，．……………………………………8分

 ∵M(jìn)、N在曲線C上，

     ∴……………………………………9分

     消去s得  ．

由題意知，且，

     解得   ．………………………………………………………11分

又   ， ∴．

     解得  （）．

   故實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．………………………………13分

7（和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(文)三模22）. （本小題滿分14分）

已知點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且

又。

（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）若直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)N到直線的距離為，求m的取值范圍。

22. （本小題滿分14分）

解：（1）設(shè)

由得（2分）

∴ ，即（4分）

由

∴   （6分）

（2）由消去得

由N是AB的中點(diǎn)     ∴ （8分）

又由已知

∴

∵ ，    ∴ （11分）

令，則

雙

綜合      ∴ （14分）

8（和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模22）. （本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB與y軸交于點(diǎn)，直線AB的斜率為K，且滿足。

（1）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，一定存在以y軸為對(duì)稱(chēng)軸且經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線C，并求出拋物線C的方程；

（2）對(duì)（1）中的拋物線C，若直線與其交于M、N兩點(diǎn)，求

∠MON的取值范圍。

22. （本小題滿分14分）

解：（1）由已知設(shè)①

又設(shè)拋物線②

由①②得（2分）

設(shè)，則

由弦長(zhǎng)公式得

（4分）

∴

而，所以

即拋物線方程為（6分）

（2）設(shè)

由

而

則，，，（7分）

不妨設(shè)，由于，則

令，則ON到OM的角為，且滿足

（9分）

令，則，且
    ∴ （10分）

函數(shù)與在上皆為增函數(shù)

∴

∴ （12分）

則（13分）

又時(shí)，

∴   （14分）

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