專題練習 轉(zhuǎn)化思想在代數(shù)中的應用

試題詳情

 專題練習 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應用

一. 填空題

  1. 若A（-5，3）、B（3，3），則以AB為底邊、腰長為5的等腰三角形ABC的頂點C（點C不在坐標軸上）的坐標是______________。

    應填入：（-1，6）

  ________________。

    應填入：

  3. 若第四象限點A到坐標原點O的距離為2，OA與x軸正半軸夾角為30°，則A點坐標是__________________。

    應填入：

  4. 已知：A（3，-5），|AB|=13，點B在x軸負半軸上，則B點坐標是_____________。

    應填入：

  5. 已知：如圖所示，△ABC中，A為坐標原點，AB在x軸上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m，則C點坐標（用α的三角函數(shù)及m表示）是_____________。

    應填入：

  6. 如圖所示，在矩形ABCD中，BD=10，△ABD的內(nèi)切圓半徑為2，切三邊于E、F、G，則矩形兩邊AB=________________，AD=_______________。

    應填入：6，8

二. 解答題

  7. 已知：如圖所示，矩形AOBC中，以O為坐標原點，OB、OA分別在x軸、y軸上，A（0，4），∠OAB=60°，以AB為軸對折后，使C點落在D點處，求D點坐標。（利用點到軸的距離等于點坐標的絕對值溝通形與數(shù)）

    解：

  8. 如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，BD=4，AD=BC，

    （1）DC的長；

    （2）sinB的值。（圖形中線段和差作為等量關(guān)系）

    解：（1）

    設CD=3k，∴AD=5k

  9. 已知：如圖所示，在矩形ABCD中，以AB為直徑作圓O切CD于F，連AC交圓O于P，PE⊥AB于E，AB=a，求PE的長。（利用幾何定理構(gòu)造方程組）

    略解：

  10. 已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于圓O，AD是圓O直徑交BC于E。求證：

    略證：

  11. 邊長為2的正方形ABCD的對角線交于O點，若CD、BA同時分別繞C點、B點逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置形成四邊形A′BCD′，設A′C交BD′于點O′，若旋轉(zhuǎn)60°時，點O運動到O′所經(jīng)過的路徑是線段還是曲線？長度是多少？（圖形運動中的相關(guān)計算）

    分析與解答：如圖所示，當D以C為圓心，CD為半徑逆時針旋轉(zhuǎn)60°到達D′點時，A同樣地旋轉(zhuǎn)到A′點，此時O以BC中點M為圓心，OM長為半徑，旋轉(zhuǎn)到O′

  12. 如圖所示，∠ABC=30°，D為切點，F(xiàn)G⊥AB于F，圓O圓心在AB上，連結(jié)

    （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

    （2）若S_{四邊形EDGF}=5S_△BED，確定FG與圓O的位置關(guān)系，并說明理由。

    （線段、面積作為函數(shù)中的變量，圖中面積和差作為等量關(guān)系）

    解：

    當x=1時，即OF=1時，F(xiàn)為圓上一點，且FG⊥AB，所以F為切點，GF為圓O切線；當x=-5，不滿足題意，舍。

初三數(shù)學模擬練習（一）

一. 選擇題：（1~8題各3分，9~12題各4分）

  1. 如果，那么一定有（    ）

    A.                             B.                                C.                             D.

  2. 下面計算正確的是（    ）

    A.                                                      B.

    C.                                                     D.

  3. 當

    A. 2                                    B.                                       C.                                 D.

  4. 若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（    ）

    A.                      B.                C.                         D.

  5. 關(guān)于x、y的方程組只有一個實數(shù)解，那么a、b滿足的條件是（    ）

    A.                        B.                            C.                        D.

  6. 直角坐標平面上有一點P，點P到y(tǒng)軸的距離為2，點P的縱坐標為，則P點坐標一定是（    ）

    A.                    B.                        C.                             D.

  7. 如果時，函數(shù)都是y隨x的增大而減小，那么（    ）

    A.         B.                C.             D.

  8. 若拋物線的頂點在x軸上，則c值為（    ）

    A. 2                                    B. 0                                           C.                                D.

  9. 如圖所示，a、b、c、d的位置已經(jīng)確定，則下列不等式中不成立的是（    ）

    A.                             B.                               C.                          D.

  10. 在中，如果，那么是（    ）

    A. 直角三角形                B. 銳角三角形                        C. 鈍角三角形          D. 銳角三角形或鈍角三角形

  11. 已知兩數(shù)a=16，b=4，則a與b的比例中項是（    ）

    A. 4                                    B.                                       C. 8                             D.

  12. 若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則在這個圓錐的側(cè)面展開圖中，扇形圓心角的度數(shù)為（    ）

    A. 60°                               B. 90°                                      C. 120°                      D. 180°

二. 填空題：（13~18題各3分，19、20兩題各4分）

  13. 已知關(guān)于x的方程的兩根之差是，則m=______________。

  14. 已知方程的兩根為，則_____________。

  15. 若分式方程的增根為-1，則a=____________________。

  16. 等腰三角形頂角的外角是100°，則它的一個底角是_____________________度。

  17. 順次連結(jié)等腰梯形各邊中點所得的四邊形的對角線的長分別是5和8，則等腰梯形的面積是____________________。

  18. 矩形的一條對角線長為，這條對角線與一條邊夾角的余弦值為，則矩形的面積是____________________。

  19. 半徑分別為1和2的兩圓交于A、B，過A點分別作兩圓的切線，恰好互相經(jīng)過另一個圓圓心，則AB長為__________________。

  20. 如果扇形的半徑為10，扇形的弧所對的圓周角為36°，那么扇形的弧長為__________。

試題答案

一. 選擇題

  1. D                                    2. C                               3. A                                        4. D

  5. B                                    6. D                              7. D                                        8. A

  9. C                                    10. C                   11. D                                      12. D

二. 填空題

  13.                            14.

  15.                     16. 50

  17. 40                                 18. 8

  19.                         20.

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 專題復習一

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 三角形重心 垂心 形內(nèi)點的共性

盧婕

    讀者都知道，三角形中三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的線段的長是對應中線長的，即：如果G是△ABC三條中線AD、BE、CF的交點，那么

    如圖1，從而可得：

    這個結(jié)果說明三組線段的比的和為1，非常奇妙的是三角形的垂心也有類似的性質(zhì)請看：

    設H是△ABC三條高線AD、BE、CF的交點，因為

    所以

    更為奇妙的是三角形內(nèi)的任意一點也有這樣的性質(zhì)：

    設Q是△ABC內(nèi)任意一點，連結(jié)AQ、BQ、CQ并分別延長交對邊于D、E、F

    過Q作QP∥AB，QH∥AC分別交BC于P、H，則：

    又由于△DPQ∽△DBA及△QPH∽△ABC

    可得：

    所以

    讀者看到這里，是不是感到：數(shù)學，真奇妙！

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 一類二次根式題的統(tǒng)一解法

趙春祥

    若a、b、c為非負有理數(shù)。

    都是同類二次根式，利用這一性質(zhì)解題，對培養(yǎng)逆向思維大有好處。下面舉例說明。

    例1 已知x、y都為正數(shù)，且，求x+y的值。

    解：因為只有同類二次根式才能合并，而

    又

    所以設（a、b為正整數(shù)），

    則有

    即得a+b=3。

    所以a=1，b=2

    或a=2，b=1。

    ∴x=222，y=888

    或x=888，y=222。

    ∴x+y=1110。

    例2 若a、b、c為有理數(shù)，且等式

    （  ）。

    A. 1999     B. 2000      C. 2001     D. 不能確定

    解：

    而

    因此，2a+999b+1001c=2000。

    故選B。

    例3 方程

     A. 2         B. 3             C. 4            D. 5

    解：

    考慮到x，y的對稱性得所求整數(shù)對為（0，336），（336，0），（21，189），（189，21），（84，84）。共有5對。

    故選D。

    例4 （x，y）中，x+y的最大值是（  ）。

    A.1189        B. 1517         C. 1657      D. 1749

    解：已知等式可化為

    由此可設

    此時x+y=41（a²+b²）。

    ∵a、b為滿足等式a+b=7的正整數(shù)，

    ∴a=1，b=6或a=6，b=1時，

    a²+b²有最大值為37。

    則x+y的最大值為41×37=1517。

    故選B。

    例5 正整數(shù)a、m、n滿足

    ，則這樣的a、m、n取值（  ）

    A. 有一組       B. 有二組    C. 多于三組    D. 不存在

    解：將已知兩邊平方，得

    ，

    根據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)部分對應相等，

    得：

    ∵m≥n，且m、n為正整數(shù)。

    ∴

    （不滿足①，舍去）。

   ∴a=3。

    故選A。

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 一次方程組的幾處應用

李慶社

    一次方程組除了用來解應用題之外，還可以應用于解下列一些簡單的問題。

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 一元二次方程的整數(shù)根

于瑩

    一元二次方程的整數(shù)根問題難度較大，是中考特別是競賽中的爬坡題型。本文舉例說明與一元二次方程整數(shù)根有關(guān)問題的解法。

    例1. 已知方程的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù)a的值。

    思路分析：當a取值不同時，方程的系數(shù)就隨之不同，方程的根的情況也就發(fā)生變化。究意什么情況下，方程的兩根都是整數(shù)呢？還是從根與系數(shù)的關(guān)系入手比較好。

    解：設方程的兩整數(shù)根為、，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：

    （1）＋（2）得：

    所以

    或

    或或

    所以或或或

    因為，所以

    只有或符合題意，代入（2）得：

    例2. 已知方程有兩個不等的負整數(shù)根，則a的值是______。

    思路分析：本題的條件在“整數(shù)根”的基礎(chǔ)上更進一步，變?yōu)椤柏撜麛?shù)根”，這對系數(shù)a有了更多的限制。另外，本題的a沒有說它是整數(shù)，難度更大了。應當抓住“負整數(shù)根”做文章。

    解：

    所以

    依題意有：、均為負整數(shù)，符合此條件的僅有。

    例3. 設m為自然數(shù)，且，若方程的兩根均為整數(shù)，則m＝______。

    思路分析：題目已給出m的范圍，再加上判別式應滿足的條件，可進一步對m加以限制，就不難求出符合條件的m值了。

    解：

    因為原方程的兩根均為整數(shù)，所以必為完全平方數(shù)，且必為奇數(shù)的平方。于是由得，在此范圍內(nèi)的奇完全平方數(shù)只有25和49。

    所以或

    所以或

    經(jīng)檢驗，、24均符合題意。

    誤區(qū)點撥：本題解法的最后一步檢驗雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟。因為整系數(shù)一元二次方程的判別式是完全平方數(shù)只是該方程有整數(shù)根的必要條件，但不是充分條件。也就是說，為完全平方數(shù)，并不能保證方程一定有整數(shù)根，所以說，必須進行檢驗。

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 一元一次方程解的討論

李月旺

    解含有字母系數(shù)的一元一次方程，最后都要化成的形式，它的解有三種不同的情況：

  1. 當時，方程有唯一解；

  2. 當時，方程有無數(shù)解；

  3. 當時，方程無解。

下面舉例予以分析說明�！�

    例1. 解關(guān)于x的方程

    解：當，即時，方程有唯一解：

    當，即時，原方程可化為：，方程無解

    總結(jié)：此方程為什么不存在無窮解呢？因為只有當方程可化為時，方程才能有無窮解，而當時，；時，，a不可能既等于-2又等于3。所以不存在無窮解。

例2. 解關(guān)于x的方程

    解：原方程可化為

    當，即時，方程有唯一解：

    當，即時，方程有無數(shù)解

    總結(jié)：此方程沒有無解的情況，因為方程可化為，而不會出現(xiàn)的情形。

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 一些數(shù)學思想在解題中的應用

  李光斗   趙國瑞

    在直線，射線，線段這一部分內(nèi)容中，滲透了許多重要的數(shù)學思想和方法，下面舉例說明。

一. 數(shù)形結(jié)合思想

    例1. 同學們?nèi)ス�路旁植樹，每�?m植一棵樹，問在21m長的公路旁最多可植幾棵樹？你可能會不假思索地在回答，三七二十一，可植樹7棵，那就錯了，結(jié)合圖形觀察后就知道了。

    解：從圖1看，顯然可植8棵。

圖1

    說明：對于這類題目要注意考慮線段的端點，否定容易出錯。

二. 方程思想

    例2. 點D、E在線段AB上，且都在AB中點的同側(cè)，點D分AB為2：5兩部分，點E分AB為4：5兩部分，若DE=5cm，則AB的長為（    ）。

圖2

    解：由題意，得如圖2所示，設AB=x，則，由，得，解得，即。

三. 整體思想

    例3. 已知：如圖3所示，C是線段AB上一點，點D、E分別是AC、CB的中點，若，求線段DE的長。

圖3

    解：∵D、E分別是AC、BC的中點

    說明：解答本題的關(guān)鍵是逆用分配律得出待求線段和已知線段這個整體的關(guān)系。

四. 分類討論思想

    例4. 已知線段AB=8cm，在直線AB上畫線段BC使它等于3cm，求線段AC的長。

圖4

    分析：由于點C可能在線段AB上，也可能在線段AB外，因此需要分類討論。

    解：當點C在線段AB上時，如圖4所示，。

    當點C在線段AB外時，如圖5所示，。

圖5

    因此線段AC長為5cm或11cm。

五. 歸納猜想思想

    例5. （2001年江蘇無錫中考題）

    根據(jù)題意，完成下列填空：如圖6所示，與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有一個交點，如果在這個平面內(nèi)，再畫第3條直線，那么這3條直線最多可有（    ）個交點；如果在這個平面內(nèi)再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有（    ）個交點；由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有（    ）個交點。n（n為大于1的整數(shù)）條直線最多可有（    ）個交點（用含n的代數(shù)式表示）。

    解：（1）畫圖觀察

圖6

    （2）列表歸納

    （3）猜想：

   ，……

    于是，可猜想n條直線最多可有交點個數(shù)為：

    于是，當時，個交點。

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2006屆專題復習 新題型解析 探究性問題

傳統(tǒng)的解答題和證明題，其條件和結(jié)論是由題目明確給出的，我們的工作就是由因?qū)Ч�或�?zhí)果索因。而探究性問題一般沒有明確的條件或結(jié)論，沒有固定的形式和方法，要求我們認真收集和處理問題的信息，通過觀察、分析、綜合、歸納、概括、猜想和論證等深層次的探索活動，認真研究才能得到問題的解答。開放性、操作性、探索性和綜合性是探究性問題的明顯特征。這類題目形式新穎，格調(diào)清新，涉及的基礎(chǔ)知識和基本技能十分廣泛，解題過程中有較多的創(chuàng)造性和探索性，解答方法靈活多變，既需要扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能，具備一定的數(shù)學能力，又需要思維的創(chuàng)造性和具有良好的個性品質(zhì)。

  1. 閱讀理解型

    這類題主要是對數(shù)學語言（也包括非數(shù)學語言）的理解和應用進行考查。要求能夠讀懂題目，理解數(shù)學語言，特別是非數(shù)學語言，并能進行抽象和轉(zhuǎn)化及文字表達，能根據(jù)引入的新內(nèi)容解題。這是數(shù)學問題解決的開始和基礎(chǔ)。

  例1. （1）據(jù)《北京日報》2000年5月16日報道：北京市人均水資源占有量只有300立方米，僅是全國人均占有量的，世界人均占有量的。問：全國人均水資源占有量是多少立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米。

    （2）北京市一年漏掉的水，相當于新建一個自來水廠。據(jù)不完全統(tǒng)計，全市至少有個水龍頭、個抽水馬桶漏水。如果一個關(guān)不緊的水龍頭，一個月能漏掉a立方米水；一個漏水馬桶，一個月漏掉b立方米水，那么一年造成的水流失量至少是多少立方米（用含a、b的代數(shù)式表示）；

    （3）水源透支令人擔憂，節(jié)約用水迫在眉睫。針對居民用水浪費現(xiàn)象，北京市將制定居民用水標準，規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量，超標部分加價收費。假設不超標部分每立方米水費1.3元，超標部分每立方米水費2.9元，某住樓房的三口之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為多少立方米。

    分析：本題是結(jié)合當前社會關(guān)注的熱點和難點問題――環(huán)保問題設計的題組，著重考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力，以及閱讀理解、檢索、整理和處理信息的能力，解好本題的關(guān)鍵是認真閱讀理解題意，剖析基本數(shù)量關(guān)系。

    解：（1）

    答：全國人均水資源占有量是2400立方米，世界人均水資源占有量是9600立方米。

    （2）依題意，一個月造成的水流失量至少為立方米

    所以，一年造成的水流失量至少為立方米

    （3）設北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為x立方米

    依題意，得

    解這個方程，得x=8

    答：北京市規(guī)定三口之家樓房每月標準用水量為8立方米。

  例2. 閱讀下列題目的解題過程：

    已知a、b、c為的三邊，且滿足，試判斷的形狀。

    解：

    問：（1）上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：_______；

    （2）錯誤的原因為：_________________________________；

    （3）本題正確的結(jié)論為：___________________________。

    分析：認真閱讀，審查每一步的解答是否合理、有據(jù)、完整，從而找出錯誤及產(chǎn)生錯誤的原因。

    答：（1）C；（2）也可以為零；（3）是等腰三角形或直角三角形。

  例3. 先閱讀第（1）題的解法，再解第（2）題：

    （1）已知，p、q為實數(shù)，且，求的值。

    解：

    （2）已知，m、n為實數(shù)，，且，求的值。

    分析：本題首先要求在閱讀第（1）題規(guī)范的解法基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納出逆用方程根的定義構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式值的方法，并加以應用。但這種應用并非機械模仿，需要先對第（2）題的第二個方程變形轉(zhuǎn)化，才能實現(xiàn)信息遷移，建模應用。

    解：且

    由根與系數(shù)的關(guān)系可得

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