三角形重心 垂心 形內(nèi)點(diǎn)的共性

盧婕

    讀者都知道，三角形中三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的線段的長是對應(yīng)中線長的，即：如果G是△ABC三條中線AD、BE、CF的交點(diǎn)，那么

    如圖1，從而可得：

    這個結(jié)果說明三組線段的比的和為1，非常奇妙的是三角形的垂心也有類似的性質(zhì)請看：

    設(shè)H是△ABC三條高線AD、BE、CF的交點(diǎn)，因為

    所以

    更為奇妙的是三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)也有這樣的性質(zhì)：

    設(shè)Q是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AQ、BQ、CQ并分別延長交對邊于D、E、F

    過Q作QP∥AB，QH∥AC分別交BC于P、H，則：

    又由于△DPQ∽△DBA及△QPH∽△ABC

    可得：

    所以

    讀者看到這里，是不是感到：數(shù)學(xué)，真奇妙！