高三數(shù)學(xué)同步檢測(六)
極限
說明:本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分,請(qǐng)將第Ⅰ卷選擇題的答案填入題后括號(hào)內(nèi),第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共100分,考試時(shí)間90分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題共40分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)
1.下列無窮數(shù)列中,極限不存在的數(shù)列是( )
A.1,,,,,…
B.3,3,3,3,…,3,…
C.3,,,…,,…
D.1,0,-1,0,…,,…
分析 本題考查常見數(shù)列的極限.
解 ∵(-1)n+1?=0,3=3,
=()=2,
∴A、B、C存在極限.
而D是一擺動(dòng)數(shù)列,不存在極限.
答案 D
2.若an=3且bn=-1,那么(an+bn)2等于( )
A.4
B.
分析 本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則,即如果兩個(gè)數(shù)列都有極限,那么它們的和、差、積、商的極限分別等于它們極限的和、差、積、商.
解 (an+bn)2=(an2+2anbn+bn2)
=an2+2an?bn+bn2
=32+2×3×(-1)+(-1)2=4.
答案 A
3.若在x=2處連續(xù),則實(shí)數(shù)a、b的值是( )
A.-1,2
B.0,
分析 本題考查函數(shù)的左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系、函數(shù)連續(xù)的概念及它們之間的關(guān)系.
解 f(x)在x=2處連續(xù)
∵f(x)=(x2+a)=4+a=4,∴a=0.
f(x)=(x+b)=2+b=4,∴b=2.
答案 B
4.等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,若則的值等于( )
A.1 B. C. D.
分析 本題考查當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列的極限.解題的關(guān)鍵是把結(jié)論中通項(xiàng)的比值用條件中前n項(xiàng)和的比值表示出來,即把轉(zhuǎn)化成關(guān)于n的多項(xiàng)式.
解法一 設(shè)Sn=kn?2n,Tn=kn(3n+1)(k為非零常數(shù)).
由an=Sn-Sn-1(n≥2),
得an=2kn2-2k(n-1)2=4kn-2k,
bn=kn(3n+1)-k(n-1)[3(n-1)+1]=6kn-2k.
∴=
解法二 ∵=
又∵
∴
∴
答案 C
5.若則常數(shù)k的值為( )
A.2 B. C.-2 D.-
解析 原式=
∵∴k=.
答案 B
6.的值為( )
A.3 B.
分析 本題考查函數(shù)在x→x0處的極限值.如果把x=x0代入函數(shù)解析式,解析式有意義,那么f(x0)的值就是函數(shù)的極限值.
解
答案 B
7.函數(shù)f(x)= 的不連續(xù)點(diǎn)是( )
A.x=2 B.x=-2
C.x=2和x=-2 D.x=4
分析 本題考查函數(shù)的連續(xù)性.一般地,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件:
(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義;
(2)存在;
(3),即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值.
解 因函數(shù)在x=±2時(shí)無定義,所以不連續(xù)點(diǎn)是x=±2.
答案 C
8等于( )
A. B. C. D.1
分析 由于“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項(xiàng)相加,因此,對(duì)于本題應(yīng)先求和化為有限項(xiàng)的算式,再運(yùn)用極限的運(yùn)算法則求極限.
解 ∵
∴原式=
答案 B
9.★已知一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為f(n),n∈N*,若
A. B. C.-7 D.-
分析 本題考查當(dāng)n→∞時(shí)數(shù)列的極限.關(guān)鍵是先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式f(n),然后求其前n項(xiàng)和,把待求極限式化成有限項(xiàng)形式,即化成關(guān)于n的多項(xiàng)式,再求極限.
解 ∵f(1)=3≠0,∴
∴數(shù)列為首項(xiàng)為3,公比為的等比數(shù)列.
∴f(n)=3?()n-1.
由公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得
Sn=
∴
答案 A
10.(2x+1)n=0成立的實(shí)數(shù)x的范圍是( )
A.x=- B.-<x<0
C.-1<x<0 D.-1<x≤0
分析本題考查數(shù)列的一個(gè)重要極限,即limn→∞an=0時(shí),有|a|<1.
解 要使(2x+1)n=0,只需|2x+1|<1,即-1<2x+1<1.解得-1<x<0.
答案 C
第Ⅱ卷(非選擇題共60分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在橫線上)
11. .
分析 當(dāng)n無限增大時(shí), 的分子中含無限多項(xiàng),而“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項(xiàng)相加.因此應(yīng)先將分子化為只含有限多項(xiàng)的算式,然后再運(yùn)用極限的運(yùn)算法則求極限.
解 原式=
答案 1
12. .
分析 本題考查當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)的極限.若把x=1代入分子、分母中,分式變成“”型,不能直接求極限,因此可把分子、分母分別進(jìn)行因式分解,約去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求極限.
解
答案
13.★一個(gè)熱氣球在第一分鐘時(shí)間里上升了
解析 由題意,該熱氣球在第一分鐘,第二分鐘,…,上升的高度組成首項(xiàng)為25,公比為的等比數(shù)列,它上升的最大高度S=Sn=
答案 125
14. .
分析 本題考查qn=0,|q|<1的應(yīng)用.因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí),構(gòu)成該式的四項(xiàng)均沒有極限,故應(yīng)將分子、分母同時(shí)除以底數(shù)最大、次數(shù)較高的項(xiàng)3n,以期轉(zhuǎn)化成每一項(xiàng)都有極限的形式,再運(yùn)用極限的運(yùn)算法則求解.
解
答案
三、解答題(本大題共5小題,共44分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分8分)討論函數(shù)在x=2處的左極限、右極限以及在x=2處的極限.
分析 本題考查函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限,左、右極限的定義及其相互關(guān)系.
對(duì)于常見函數(shù),可先畫出它的圖象,觀察函數(shù)值的變化趨勢,利用極限的定義確定各種極限.
解 當(dāng)x→2-時(shí),函數(shù)無限接近于0,
即 3分
當(dāng)x→2+時(shí),函數(shù)無限接近于2,
即
綜上,可知≠, 6分
∴函數(shù)f(x)在x=2處極限不存在. 8分
16.(本小題滿分8分)已知數(shù)列{an}中,an=Sn為其前n項(xiàng)的和,求的值.
分析 由于中是無窮項(xiàng)和的極限,必須先求得和的化簡式,轉(zhuǎn)化為有限項(xiàng)的極限問題.
而是一類裂項(xiàng)后有明顯相消項(xiàng)的數(shù)列,所以采用了裂項(xiàng)法.但相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律,即消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng).
解
∴ 8分
17.(本小題滿分8分)如圖,已知Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=0.5,AB=1,在△ABC內(nèi)有一系列正方形,求所有這些正方形面積之和.
分析 本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限.
解 設(shè)正方形BD1C1B1、D1D2C2B2、…的邊長分別為a1,a2,….
∵AB=1,tanC=0.5,∴BC=2.
由相似三角形的知識(shí)可得,
∴a1=.同理,可得a2=a1,…,an=an-1.
∴{an}是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列. 3分
設(shè){Sn}是第n個(gè)正方形的面積,則Sn是以為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列. 4分
∴(S1+S2+…+Sn)=
即所有這些正方形面積之和為. 8分
18.★(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a,4,
(1)求a及k的值;
(2)求的值.
解 (1)∵a+3a=2×4,∴a=2.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列. 2分
∵2k+×2=2550,∴k=50,
即a、k的值分別為2、50. 5分
(2)∵Sn=2n+×2=n2+n,
∴
∴
∴
19.★(本小題滿分10分)已知求m、n的值.
分析 本題考查當(dāng)x→x0時(shí),函數(shù)的極限.關(guān)鍵是通過極限的運(yùn)算構(gòu)造方程組,求m、n.
由可知x2+mx+2含有x+2這一因式,∴x=-2為方程x2+mx+2=0的根.
∴m=3,代入進(jìn)而可求得n.
也可由得
解出m,再求n.
解法一 ∵
∴x=-2為方程x2+mx+2=0的根.
∴m=3. 4分
又
∴n=-1. 9分
∴m=3,n=-1. 10分
∴(-2)2+(-2)m+2=0,m=3.
同上可得n=-1.
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