題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). ①
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題,通過(guò)構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn),|AB|=3米,|AD|=2米,
(I)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(II)當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最?并求出最小面積.
(Ⅲ)若AN的長(zhǎng)度不少于6米,則當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求出最小面積.
【解析】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)及均值不等式的應(yīng)用等,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 第一問(wèn)要利用相似比得到結(jié)論。
(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴2<X<8/3,即AN長(zhǎng)的取值范圍是(2,8/3)或(8,+)
第二問(wèn),
當(dāng)且僅當(dāng)
(3)令
∴當(dāng)x > 4,y′> 0,即函數(shù)y=在(4,+∞)上單調(diào)遞增,∴函數(shù)y=在[6,+∞]上也單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=6時(shí)y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).
假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)y(萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知,y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:
(1)線性回歸方程;
(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用約是多少?思路分析:本題考查線性回歸方程的求法和利用線性回歸方程求兩變量間的關(guān)系.
解:(1)
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
yi | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
xiyi | 4.4 | 11.4 | 22.0 | 32.5 | 42.0 |
b==1.23,
a=-b=5-1.23×4=0.08.
所以,回歸直線方程為=1.23x+0.08.
(2)當(dāng)x=10時(shí),=1.23×10+0.08=12.38(萬(wàn)元),
即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)約為12.38萬(wàn)元.
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