一、選擇題
1(漢沽一中2008~2009屆月考理5).已知等差數(shù)列的公差
,它的第1、5、17項順次成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比是(B)
A.4 B.
2(漢沽一中2008~2009屆月考文7)、已知
是等差數(shù)列,
,
,則該數(shù)列前10項和
等于( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.64 B.100 C.110 D.120
【答案】B
【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式以及考查學(xué)生的運(yùn)算能力和方程的思想方法.
【解析】設(shè)公差為
,
則由已知得
3(漢沽一中2009屆月考文7).四個小動物換座位,開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1,2,3,4號位子上(如圖),第一次前后排動物互換座位,第二次左右列動物互換座位,…,這樣交替進(jìn)行下去,那么第2009次互換座位后,小兔的座位對應(yīng)的是 ( A )
1
鼠
2
猴
1
兔
2
貓
1
貓
2
兔
1
猴
2
鼠
兔
3
貓
4
鼠
3
猴
4
猴
3
鼠
4
貓
3
兔
4
開始
第一次
第二次
第三次
A.編號1 B. 編號2 C. 編號3 D. 編號4
4(武清區(qū)2008~2009學(xué)年度期中理)
C
5(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模7).
已知等差數(shù)列的前n項和為
,若M、N、P三點共線,O為坐標(biāo)原點,且
(直線MP不過點O),則
等于(D )
A. 31 B. 32 C. 15 D. 16
6(2009年濱海新區(qū)五所重點學(xué)校聯(lián)考理6).已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),公比
1,設(shè)
,
P與Q的大小關(guān)系是 ( 6.D )
A.P≥Q B.P<Q C.P≤Q D.P>Q
7(2009年濱海新區(qū)五所重點學(xué)校聯(lián)考理9).?dāng)?shù)列中
;數(shù)列
中,
,
,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),已知點列
,
則向量
的坐標(biāo)為 (9.C )
A.(,8
) B. (
,8
)
C. (,8
) D. (
,8
8(漢沽一中2008~2008學(xué)年月考理5).等差數(shù)列中,
,那么
的值是B
A. 12 B. 24 C .16 D. 48
二、填空題
1(2009年濱海新區(qū)五所重點學(xué)校聯(lián)考文12). 等差數(shù)列各項都是正數(shù),且
,則它的前10項和
等于 12. 15
2(漢沽一中2009屆月考文11).已知等差數(shù)列的公差為2,若
成等比數(shù)列, 則
=___________ 11 -4
3(武清區(qū)2008~2009學(xué)年度期中理)若數(shù)列{}的前
4(武清區(qū)2008~2009學(xué)年度期中理)
5(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(文)三模13).
已知各項均正的等比數(shù)列中,
,則
的值為 。
13. 10000
6(和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模15). 已知數(shù)列的通項公式
,設(shè)數(shù)列
的前n項的和為
,則使
成立的正整數(shù)n的最小值為
。63
7(一中2008-2009月考理14).已知等差數(shù)列,若
,且
,則公差=__ _。2
三、解答題
1(一中2008-2009月考理18).已知數(shù)列{}中,
在直線y=x上,其中n=1,2,3….
(1)令求證數(shù)列
是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列
⑶ 設(shè)的前n項和,是否存在實數(shù)
,使得數(shù)列
為等差數(shù)列?若存在,試求出
.若不存在,則說明理由。
解:(I)由已知得
又
是以
為首項,以
為公比的等比數(shù)列.
(II)由(I)知,
將以上各式相加得:
(III)解法一:
存在,使數(shù)列
是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是
、
是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時,數(shù)列
為等差數(shù)列.
解法二:
存在,使數(shù)列
是等差數(shù)列.
由(I)、(II)知,
又
當(dāng)且僅當(dāng)
時,數(shù)列
是等差數(shù)列.
2(2009年濱海新區(qū)五所重點學(xué)校聯(lián)考理22).(本小題滿分14分)
已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且公比不等于1,數(shù)列
對任意正整數(shù)n,均有:
成立,又。
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及前n項和
;
(Ⅱ)在數(shù)列中依次取出第1項,第2項,第4項,第8項,……,第
項,……,組成一個新數(shù)列
,求數(shù)列
的前n項和
;
(Ⅲ)當(dāng)時,比較
與
的大小。
22.(本小題滿分14分)
解:(I)設(shè)公比為 ……………………2分
代入
得
即
∵,∴
,∴
∴是等差數(shù)列 ……………………4分
=2 ∴
…………6分
(Ⅱ)
……………………8分
(3)
時,
時,
猜測時,
……………………10分
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下
(1)時,
(已證)
(2)假設(shè)時不等式成立,即
……………………12分
時,
又
∴
即時,不等式成立。
由(1)(2)知,當(dāng)時,
……………14分
3(2009年濱海新區(qū)五所重點學(xué)校聯(lián)考文21).(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前
項和
和通項
滿足
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)
求證:;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù),
,
求.
21.解:(Ⅰ)當(dāng)時
,
∴,---------------------------------------------------------------------------3分
由得
∴數(shù)列是首項
、公比為
的等比數(shù)列,∴
------5分
(Ⅱ)證法1: 由得
---------------------------------7分
,∴
∴---------------------------------------------------------9分
〔證法2:由(Ⅰ)知,
∴ --------------------------------7分
,∴
---------------------------------8分
即 -------------------------------------------------9分
(Ⅲ)
=
-----------10分
=
-------------------12分
∵
∴=
--------14分
4(漢沽一中2008~2009屆月考文15).(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列的首項
,公差
,前
項和為
,
,
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:
解:(1)等差數(shù)列
中
,公差
…………………………4分
(2) …………………………6分
………8分
…………10分
.
…………………12分
5(漢沽一中2008~2009屆月考理20).(本小題滿分分)
如圖,是曲線
上的
個點,點
在
軸的正半軸上,
是正三角形(
是坐標(biāo)原點) .
(Ⅰ) 寫出;
(Ⅱ)求出點的橫坐標(biāo)
關(guān)于
的表達(dá)式;
(Ⅲ)設(shè),若對任意正整數(shù)
,當(dāng)
時,不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
解:(Ⅰ) .…………………………………………… 2分
(Ⅱ)依題意,則
,
… 3分
在正三角形中,有
.
.…………………………………………………… 4分
,
,
①
同理可得 .
②
①-②并變形得
,
,
………………………………… 6分
.
∴數(shù)列是以
為首項,公差為
的等差數(shù)列.
, …………………………………… 7分
,
.
.
………………………… 8分
(Ⅲ)解法1 :∵,
∴.
.
∴當(dāng)時,上式恒為負(fù)值,
∴當(dāng)時,
,
∴數(shù)列是遞減數(shù)列.
的最大值為
. ………………………………………………… 11分
若對任意正整數(shù),當(dāng)
時,不等式
恒成立,則不等式
在
時恒成立,即不等式
在
時恒成立.
設(shè),則
且
,
∴
解之,得 或
,
即的取值范圍是
.…………………………………………… 14分
解法2:∵,
設(shè),則
.
當(dāng)時,
,
在
是增函數(shù).
∴數(shù)列是遞減數(shù)列.
的最大值為
. ………………………………………………… 11分
(以下解答過程與解法1相同)
6(漢沽一中2008~2009屆月考文19)、(本小題滿分14分)
已知數(shù)列{}的前
項和
,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),且
,求
.
【命題意圖】本題主要是對數(shù)列通項和求和公式的綜合考查,以及考查學(xué)生的分析綜合能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想.
【解析】(Ⅰ)∵Sn=n2+2n ∴當(dāng)時,
……4分
當(dāng)n=1時,a1=S1=3, ,滿足上式
……6分
故 ……7分
(Ⅱ)∵, ∴
……9分
∴
……11分
∴
……13分
……14分
7(漢沽一中2008~2008學(xué)年月考理19).(本小題滿分13分)已知,
,數(shù)列
滿足
,
,
.
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)當(dāng)n取何值時,取最大值,并求出最大值;
(III)若對任意
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
(8(漢沽一中2009屆月考文18).(本小題滿分12分)在數(shù)列中,
且
(1)求c的值
(2)求的通項公式。
18.(本小題滿分12分)
解:(1)由
.
2分
因為
所以
解得c=2 6分
(2)。
10分
把上面n-1個式子相加得
所以
12分
9(漢沽一中2009屆月考文22).(本小題滿分14分)
已知函數(shù),設(shè)曲線
在點
處的切線與
軸的交點為
,其中
為正實數(shù)
(1)用表示
;
(2),若
,試證明數(shù)列
為等比數(shù)列,并求數(shù)列
的通項公式;
(3)若數(shù)列的前
項和
,記數(shù)列
的前
項和
,求
。
22、(本小題滿分14分)
解:(1)由題可得,所以在曲線上點
處的切線方程為
,即
-----------------2分
令,得
,即
由題意得,所以
-----------------4分
(2)因為,所以
即,所以數(shù)列
為等比數(shù)列故
---8分
(3)當(dāng)時,
當(dāng)時,
所以數(shù)列的通項公式為
,故數(shù)列
的通項公式為
①
①的
②
①②得
故
-----------------14分
10(武清區(qū)2008~2009學(xué)年度期中21)
11 (和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(理)三模21). (本小題滿分14分)
定義一種運(yùn)算*,滿足(
為非零實常數(shù))
(1)對任意給定的k,設(shè),求證數(shù)列
是等差數(shù)列,并求k=2時,該數(shù)列的前10項和;
(2)對任意給定的n,設(shè),求證數(shù)列
是等比數(shù)列,并求出此時該數(shù)列前10項的和;
(3)設(shè),試求數(shù)列
的前n項和
,并求當(dāng)
時,
。
21. (本小題滿分14分)
解:(1)∵ ,又
∴
所以,所以
(2分)
所以數(shù)列是公差為
的等差數(shù)列(3分)
當(dāng)時,
,所以
(4分)
(2)∵ ,又
∴
故數(shù)列是公比為
的等比數(shù)列(6分)
當(dāng)時,
當(dāng)時,
(8分)
(3)∵ ∴
,而
∴
所以①(9分)
當(dāng)時,
(10分)
當(dāng)時,
②(11分)
①-②得
所以(13分)
則當(dāng)時,
(14分)
和平區(qū)2008年高考數(shù)學(xué)(文)三模21. (本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前n項和為
,且
,(n=1,2,3…)數(shù)列
中,
,點
在直線
上。
(1)求數(shù)列和
的通項公式;
(2)記,求滿足
的最大正整數(shù)n。
21. (本小題滿分14分)
解:(1)∵
∴ 當(dāng)時,
即 ∵
∴
即數(shù)列是等比數(shù)列(2分)
∵ ∴
即
∴ (4分)
∵ 點在直線
上
∴ ∴
即數(shù)列是等差數(shù)列,又
∴
(6分)
(2)
①(7分)
∴ ②
①-②得
即
∴ (10分)
∵ 即
于是(11分)
又由于當(dāng)時,
(12分)
當(dāng)時,
(13分)
故滿足條件最大的正整數(shù)n為4(14分)
.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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