數(shù)列{a_n}是公差為d（d＞0）的等差數(shù)列，且a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，設(shè)S_n=a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1（n∈N^*）．
（1）求證：

Sn

+

Sn+2

=2

Sn+1

；
（2）若d=

1

4

，令b_n=

Sn

2n-1

，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在整數(shù)P、Q，使得對(duì)任意n∈N^*，都有P＜T_n＜Q，若存在，求出P的最大值及Q的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=

an

n

，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

等差數(shù)列{ a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，令b_n=a_na_n+1，數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和為T_n．
（1）求a_n和S_n；
（2）求證：T_n＜

1

3

；
（3）是否存在正整數(shù)m，n，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．