Question

6．如圖，直線l₁的解析式為y=-2x+3，且l₁與x軸交于點(diǎn)D，直線l₂經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（3，-1），直線l₁、l₂交于點(diǎn)C．
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)：（$\frac{3}{2}$，0）；（直接寫出結(jié)果）
（2）△ADC的面積為：$\frac{25}{12}$；（直接寫出結(jié)果）
（3）試問在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小周長；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）試問：在直線l₁上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCD的面積等于△ACQ的面積$\frac{1}{5}$？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由l₁的解析式y(tǒng)=-2x+3可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線AB的解析式，聯(lián)立兩直線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得△ADC的面積；
（3）可找A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，連接A′C交y軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，再利用勾股定理可求得△PAC的周長；
（4）可先求得△BCD的面積，可得出△ACQ的面積，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，則有S_△ACQ=S_△ADQ-S_△ACD，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，則有S_△ACQ=S_△ADQ+S_△ACD，可得到點(diǎn)Q坐標(biāo)的方程，可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=-2x+3中，令y=0可得-2x+3=0，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
故答案為：（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）設(shè)直線l₂的解析式為y=kx+b，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為y=x-4，
聯(lián)立兩直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+3}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{7}{3}$，-$\frac{5}{3}$），
∵A（4，0），D（$\frac{3}{2}$，0），
∴AD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{3}$=$\frac{25}{12}$，
故答案為：$\frac{25}{12}$；
（3）設(shè)A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，如圖1，連接A′C交y軸于點(diǎn)P，

則PA′=PA，
∴PA+PC=PA′+PC，此時(shí)A′、P、C三點(diǎn)在一條直線上，
∴PA+PC最小，
∵A（4，0），
∴A′（-4，0），
設(shè)直線A′C的解析式為y=mx+n，
把A′、C的坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{\frac{7}{3}m+n=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{19}}\\{n=-\frac{20}{19}}\end{array}\right.$，
∴直線A′C的解析式為y=-$\frac{5}{19}$x-$\frac{20}{19}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{20}{19}$），
此時(shí)A′C=$\sqrt{（\frac{7}{3}+4）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{386}}{3}$，AC=$\sqrt{（\frac{7}{3}-4）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴PA+PC+AC=A′C+AC=$\frac{\sqrt{386}+5\sqrt{2}}{3}$，即△PAC的周長的最小值為$\frac{\sqrt{386}+5\sqrt{2}}{3}$；
（4）由（2）可知AD=$\frac{5}{2}$，且B（3，-1），
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1=$\frac{5}{4}$，
∴S_△BCD=S_△ACD-S_△ABD=$\frac{25}{12}$-$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{6}$，
∵△BCD的面積等于△ACQ的面積$\frac{1}{5}$，
∴S_△ACQ=$\frac{25}{6}$，
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-2t+3），
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C下方時(shí)，如圖2，

則S_△ACQ=S_△ADQ-S_△ACD，
∴$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（2t-3）-$\frac{25}{12}$，解得t=4，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-5）；
當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方時(shí)，如圖3，

則有S_△ACQ=S_△ADQ+S_△ACD，
∴$\frac{25}{6}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（-2t+3）+$\frac{25}{12}$，解得t=$\frac{2}{3}$，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$）；
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（4，-5）或（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（2）中求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，在（4）中用Q的坐標(biāo)表示出△ACQ的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大．