組合應用
【復習填空】
1. 試說明排列與組合定義的要點.
2. = = = .
3. 組合數(shù)的性質(zhì)① ;② .
4.①從8名乒乓球選手中選出3名打團體賽,共 有 種不同的選法;
②平面內(nèi)有12個點,任何3點不在同一條直 線上,以每3點為頂點畫一個三角形,一共可畫出 個;
③10名學生,7人掃地,3人推車,那么不同 的分工方法有 種;
④有10道試題,從中選答8道,共有 種選法、又若其中6道必答,共有 不同的種選法.
【例題與練習】
1.有13個隊參加籃球賽,比賽時先分成兩組,第一組7個隊,第二組6個隊.各組都進行單循環(huán)賽(即每隊都要與本組其他各隊比賽一場),然后由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽決定冠、亞軍,共需要比賽多少場?
2.某班有54位同學,正、副班長各1名,現(xiàn)選派6名同學參加某科課外小組,在下列各種情況中 ,各有多少種不同的選法?
①無任何限制條件;
②正、副班長必須入選;
③正、副班長只有一人入選;
④正、副班長都不入選;
⑤正、副班長至少有一人入選;
⑥正、副班長至多有一人入選;
小結(jié):至多至少問題常用分類的或排除法.
3.在產(chǎn)品檢驗中,常從產(chǎn)品中抽出一部分進行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件進行檢查,根據(jù)下列各種要求,各有多少種不同的抽法?
①無任何限制條件;
②全是正品;
③只有2件正品;
④至少有1件次品;
⑤至多有2件次品;
⑥次品最多.
【課后檢測】
1.9件產(chǎn)品中,有4件一等品,3件二等品,2件三等品,現(xiàn)在要從中抽出4件
產(chǎn)品來檢查,至少有兩件一等品的種數(shù)是( )
A. B. C. D.
2.從8名男生和6名女生中挑選3人,最多選2名女生的選法種數(shù)為( )
A.288 B.344 C.364 D.624
3.有4名男生和5名女生,從中選出5位代表:
(1)要求男生2名,女生3名且某女生必須在內(nèi)的選法有 種;
(2)要求男生不少于2名的選法有 種.
4.從1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字中 ,每次任取兩個,和為偶數(shù)的取法有 種.
5.圓上有10個點:
(1)過每2點可畫一條弦,一共可畫多少條弦?
(2)過每3點可畫一個圓內(nèi)接三角形,一共可畫多少個圓內(nèi)接三角形?
8.(1)凸五邊形有多少條對角線?
(2)凸n邊形有多少條對角線?
9.某校高中一年級有6個班,高二年級有5個班,高三年級有8個班.各年級分別進行班與班的排球單循環(huán)賽,一共需要比賽多少場?
【復習填空】
1.排列與組合的共同點是:
不同點是:
2. = .0!= .
3. = = 、 .
4. 、 、 、 、 .
【例題與練習】
1.求下列各題中的n的值.
(1) ; (2)
小結(jié):①注意約簡,②用排列數(shù)和組合數(shù)公式將等式轉(zhuǎn)化為n的一元方程解之.
2.證明下列恒等式
(1); (2)
小結(jié):組合數(shù)的性質(zhì):① ②
性質(zhì)①常用來簡化運算,性質(zhì)②通常用來證明組合恒等式.
練習:
、若,則x的值是 .
3.求證(1);(2)
【課后檢測】
1.若,則n等于( )
A.8 B.7 C.6 D.4
2.已知m、n、xÎN且,那么m,n間的關系是( )
A.m=n B.m+n=x C.m=n或m+n=x D.m=n或m-n=x
3. =( )
A. B. C. D.
4.已知則m= .
5.根據(jù)條件,求x的值.
(1)若,則x= ;(2)若,則x= ;
(3)若,則x= ;(4)若,則x= ;
6.利用組合數(shù)的性質(zhì)進行計算
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
7.解下列方程或不等式
(1); *(2)
(3)
【復習】
1.什么叫排列?什么叫排列數(shù)?寫出排列數(shù)公式,并用階乘表示.
2.指出下列問題是否是排列問題?
(1)在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線上,有多少種不同的飛機票?有多少種不同的飛機票價?以上兩個問題有何區(qū)別?
(2)高中部11個班進行籃球單循環(huán)比賽,需要進行多少場比賽?
(3)從全班23人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務,有多少種不同的選法?選出三人參加某項勞動,有多少種不同的選法?
(4)10個人互相通信一次,共寫了多少封信?
(5)10個人互通電話一次,共多少個電話?
【組合的概念】
1. 定義:
2. 組合與排列的區(qū)別:
3. 相同的組合:
4. 組合數(shù):
5. 組合數(shù)公式:
【應用舉例】
1.下面的問題中屬于組合的是(在括號內(nèi)打√)
(1)集合{0,1,2,3,4}的含兩個元素的子集的個數(shù)是多少?…………………( );
(2)五個足球隊進行循環(huán)賽,共要比賽多少場?……………………………… ( );
(3)從1~9中取2個相加,有多少個不同的和?………………………………… ( )
如果相減,有多少個不同的差?…………………………………………… ( );
(4)由沒有任何三點共線的五個點可以連成多少條線段?……………………… ( )
如果連成有向線段,共有多少條?………………………………………… ( );
(5)某小組有9位同學,從中選出正副班長各一人,有多少種不同的選法?… ( )
若從中選出2名代表參加一個會議,有多少種不同的選法?………………( )
2.列舉從4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素的所有的組合和排列.
3.計算(1) (2) (3) (4)
4. P243練習5(1)、(2)、(4)、(6)
【課后檢測】
1.下面幾個說法中 正確的是個數(shù)是…………………………………………………( )
①組合數(shù)就是一個組合中元素的個數(shù);
②兩個組合中的元素完全相同也可能是不同的組合;
③從n個元素中抽取m(mㄑn)個元素的排列,可以看作先從n個元素中抽取m個進行組合,再對m個元素進行全排列.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下面各式中,不正確的是……………………………………………………………( )
A.0!=1 B.=n C. D.
3.計算的值是…………………………………………………………………( )
A.64 B.80 C.13464 D.40
4.已知a,b,c,d,e五個元素,試寫出每次取出3個元素的所有組合為:
5.求值: ; .
6.判斷下列各命題是排列問題還是組合問題:
(1)從五種不同的水稻良種中,選出3種:
①分別種在土質(zhì)一樣的三塊田里作試驗,有多少種方法? 是 問題.
②分別種在土質(zhì)不同的三塊田里作試驗,有多少種方法? 是 問題.
(2)從50件不同的產(chǎn)品中抽出5件來檢查,有多少種不同的抽法? 是 問題.
(3)五個人中互送照片一張,共送了多少張照片? 是 問題.
(4)平面內(nèi)有不共線的三點:
①過其中任意兩點作直線,一共可以作多少條直線? 是 問題.
②以其中一點為端點,并過另一點的射線有多少條? 是 問題.
(6) ①從5本不同的書中選出2本借給某人,有多少種不同的借法? 是 問題.
②若從5本不同的書中選出2本分別借給甲、乙兩人,又有多少種不同的借法?
是 問題.
7.用排列數(shù)或組合數(shù)表示下列問題,并計算出結(jié)果.
(1)從3、4、5、7四個數(shù)字中每次取出兩個.
①構(gòu)成多少個不同的分數(shù)? 答案
②可以構(gòu)成多少個不同的真分數(shù)? 答案
(2)從10名同學在任選出3名同學.
①擔任三種不同的職務,有多少種不同的選法? 答案
②組成一個代表隊參加數(shù)學競賽,有多少種不同的選法? 答案
(3)從10本不同的書中任選3本.
①個同學每人一本,有多少種不同的借法? 答案
②借給一個同學,有多少種不同的借法? 答案
8. 已知點P(4,6),F(xiàn)為拋物線x2=4y的焦點,點M在拋物線上移動,則MP|+|MF|
的最小值為 ,取得最小值時點M的坐標為 .
等可能性事件的概率
1、 盒中有100個鐵釘,其中90個是合格的10個是不合格的,從中任意抽取10個,其中沒有一個是不合格鐵釘?shù)母怕适牵ǎ?/p>
A、0.9 B、 C、0.1 D、
2、 某小組有成員3人,每人在一個星期中參加一天勞動,如果勞動日期可隨機安排,則3人在不同的3天參加勞動的概率為()
A、 B、 C、 D、
3、 十個人站成一排,其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率為()
A、 B、 C、 D、
4、 從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù),則這兩位數(shù)大于40的概率是()
A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5
5、200名青年工人,250名大學生,300名青年農(nóng)民在一起聯(lián)歡,如果任意找其中一名青年談話,這個青年是大學生的概率是 。
6、袋中有10個球,其中7個是紅球,3個是白球,從中任意取出3個,則取出的3個都是紅球的概率是 。
7、圓周上有十個等分圓周的點,從這十個點中,任取三點為頂點作一個三角形,則所作的三角形是直角三角形的概率是 。
8、6位同學參加百米賽跑初賽,賽場共有6條跑道,其中甲同學恰好被排在第一道,乙同學恰好被排在第二道的概率為 。
9、從6雙規(guī)格相同顏色不同的手套任取4只,其中恰有兩只成雙的概率是多少?
(提示:先取一種顏色,保證兩只成雙,然后再取兩種顏色,從每種顏色中各取一只。)
答案:
10、從1,2,3,4,5五個數(shù)字中,任意有放回地連續(xù)抽取三個數(shù)字,求下列事件的概率
(1) 三個數(shù)字完全不同;
(2) 三個數(shù)字中不含1和5;
(3) 三個數(shù)字中5恰好出現(xiàn)兩次
11、從0,1,2,…,9這十個數(shù)字中任取不同的三個數(shù)字,求三個數(shù)字之和等于10的概率。
12、9國乒乓球隊,內(nèi)有3個亞洲球隊,抽簽分成三組進行預賽(每組3個隊)試求:
(1) 三個組中各有一個亞洲球隊的概率;
(2) 3個亞洲球隊集中在某一組的概率。
答案:1、D 2、C 3、A 4、B 5、1/3 6、7/24 7、1/3 8、1/30 9、16/33
10、(1)12/25 (2)27/125 (3)12/125
11、1/15 13、(1)9/28 (2)1/28
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相互獨立事件同時發(fā)生的概率
----相互獨立事件及其同時發(fā)生的概率
山西省平遙中學 常毓喜
【教學目的】
1.了解相互獨立事件的意義,會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率;
2.通過對概率知識的學習,了解偶然性寓于必然性之中的辨證唯物主義思想;
【教學重點】
用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率;
【教學難點】
互斥事件與相互獨立事件的區(qū)別;
【教學用具】
投影儀、多媒體電腦等。
【教學過程】
相互獨立事件同時發(fā)生的概率
例1、 某種零件經(jīng)過三道工序加工才是成品,第一道工序的合格率是95%,第二道工序的合格率是98%,第三道工序的合格率是99%,假定這三道工序互不影響,那么成品的合格率是多少?(結(jié)果精確到0.01)
例2、 某人參加一次考試,若五道題中解對四題為及格,已知他解題的正確率為3/5,試求他能及格的概率?(結(jié)果保留四個有效數(shù)字)
例3、 設有兩門高射炮,每一門擊中飛機的概率都是0.6,試求:
(1) 同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率;
(2) 若又一架敵機侵犯,要以99%的概率擊中它,問需多少門高炮?
隨堂練習:
1、 甲乙兩人下象棋,每下三盤,甲平均能勝三盤,若兩個下五盤棋,甲至少勝三盤的概率是多少?
2、 一批產(chǎn)品有30%的一級品,現(xiàn)進行重復抽樣檢查,共取出5個樣品,試求:
(1) 取出的5個樣品恰有2個一級品的概率;
(2) 取出的5個樣品中至少有2個一級品的概率。
3、 在抗菌素的生產(chǎn)中,需要培養(yǎng)優(yōu)良的菌株,若一只菌株變成優(yōu)良菌株的概率是0.05,那么從大批經(jīng)過誘變處理的菌株中,選擇多少進行培養(yǎng),才能有95%的把握至少選到一只優(yōu)良菌株?
4、一個通訊小組有兩套相同的通訊設備,每套設備都由A、B、C三個部件組成,只要其中有一個部件出故障,這套設備就不能正常工作(即不以進行通訊)假定三個部件不出故障的概率分別是:P(A)=0.95 P(B)=0.90 P(C)=0.99求:
(1) 打開一套設備能進行通訊的概率;
(2) 同時打開兩套設備能進行通訊的概率。
例1 P=0.92 例2 P=0.3370 例3 (1)0.84 (2)6
1.64/81 2. (1)0.3087 (2)0.4718 3. 59株 4. (1) 0.84645 (2) 0.9764
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4. 含有條件的排列組合應用題:
例1:某班有男生25人,女生21人,現(xiàn)選男生3人,女生2人分別擔任正、副班長、學委、體委、宣委,問有多少種不同的選舉方法?
上題中,(1)如果由25名男生中選3人擔任班長、學委、體委,女生中選2人擔任副班長、宣委,問有多少種不同的選法?
(2)若25名男生中選3人,21名女生中選2人,分別擔任正、副班長、學委、體委、宣委,若正班長必須由男生擔任,問有多少種不同的選法?
例2:從1到9這9個數(shù)字中取5個數(shù)字排列,奇數(shù)只能排在個位、十位或百位,問這樣的無重復的五位數(shù)有多少個?
例3: 4人分住兩個房間,每個房間至少住進1人,求不同的安排方法數(shù)?
例4:圓周上有8個點,將圓周等分,那么以其中的3個點為頂點的直角三角形共有 個.
(A)12 (B)16 (C)24 (D)48
課后練習與檢測:
1.①8人站成一排,不同的站法有 種.
(A)10080 (B)13440 (C)20160 (D)40320.
②6人站成一排,甲不站頭,乙不站尾,不同的站法有 種.
(A)504 (B)480 (C)360 (D)240.
③5件不同禮品分送給4人,每人至少一件,而且禮品全部送出,那么送出禮品的方法數(shù)是 .
(A)960 (B)480 (C)240 (D)120.
④4個小組,分別從3個風景點中選一處進行觀光旅游,不同的選擇方案的種數(shù)是 .
(A) (B) (C)34 (D)43
2.書架上豎排著六本數(shù),現(xiàn)將新購的3本書上架,要求不調(diào)亂書架上原有的書,那么不同的上架方式共有多少種?
(選做)3.小李打算從10位朋友中邀請4位去旅游,這10位朋友中,有一對雙胞胎,對這兩位朋友,要么邀請,要么不邀請.求不同的邀請方案的種數(shù).
【概念復習】
1. 排列的定義:
2. 排列數(shù)公式:
【應用舉例】
1. 判斷下列問題是否是排列問題:
① 從7名同學中選3人去完成3種不同的工作,每人完成一種,有多少種不同的選派方法…………………………………………………………………………( )
② 從7名同學中選3人去某地參加一個會議…………………………………( )
③ 設m、n,則可以構(gòu)成多少個焦點在x軸的橢圓( )
④ 從6名同學中選4人,參加4´100m接力賽,有多少種不同的參賽方案……( )
小結(jié)1:判斷是否是排列問題關鍵在于取出的元素是否與順序有關,若與順序有關則是排列,否則不是.
2. 用0、1、2、3、4、5、6組成滿足下列條件的數(shù)各多少個?
① 無重復數(shù)字的四位數(shù);
② 無重復數(shù)字的四位數(shù)偶數(shù);
③ 無重復數(shù)字的四位數(shù)且能被5整除;
④ 個位數(shù)字大于十位數(shù)字的四位數(shù).
小結(jié)2:解有條件限制的排列問題思路:①正確選擇原理;②處理好特殊元素和特殊位置,先讓特殊元素戰(zhàn)位,或特殊位置選元素;③再考慮其余元素或其余位置;④數(shù)字的排列問題,0不能排在首位
3. 三個男生和四個女生安下列條件排成一排有多少種排法?
① 男生排在一起,女生排在一起有;
② 男女生間隔相排;
③ 男生互不相鄰;
④ 甲乙兩人必須相鄰.
小結(jié)3:解決相鄰問題通常用捆綁的辦法;不相鄰問題通常用插入的辦法.
【檢測練習】
1.用1、2、3、4、5這5個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的3位數(shù),其中偶數(shù)共有……( )
A.24 B.30 C.40 D.60
2.有9個男生,5個女生排成一排,要求女生排在一起(中間不能有男生),不同的排
有( )種………………………………………………………………………………( )
A. B. C. D.2
3.用1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字作全排列組成一個七位數(shù),要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù),奇數(shù)位上必須是奇數(shù),這樣的七位數(shù)共有………………………………( )
A. B. C. D.3
4.用0,2,4,6,9五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù),共有( )個
A. B. C. D.
5.用數(shù)字0,1,2,3,4能組成沒有重復數(shù)字且比20000大的五位數(shù)奇數(shù)共有 ( )個
A.36 B.30 C.72 D.18
6.有3位老師和5位學生照相,如果老師不排在最左邊且老師不相鄰,則不同的排法種數(shù)是( )
A. B. C. D.
7.一臺晚會有6個節(jié)目,其中有兩個小品,如果兩個小品不連續(xù)演出,共有不同的演出順序 種
8.用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字的五位數(shù)?五位奇數(shù)?五位偶數(shù)?
9.某班一天六節(jié)課:語文、英語、數(shù)學、物理、體育、自習.按下列要求,分別有多少種排課方法
①第一節(jié)不排體育、自習;
②數(shù)學不排下午,體育不排在第一、四節(jié).
【幾何復習題】
求雙曲線x2-4y2=-8的焦點、頂點坐標,取值范圍,實軸、虛軸的長,漸近線、準線、共軛雙曲線的方程,離心率,兩準線的距離.
【概念復習】
1. 什么叫排列?從n個不同元素中,任取m()個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列 .表示為 .
2. 什么叫不同的排列?元素和順序至少有一個不同.
3. 什么叫相同的排列?元素和順序都相同的排列.
4. 從n個不同元素中取出m()個元素的排列數(shù)是 .
5. 什么叫全排列?n個元素的全排列表示為 = ,這是 個連續(xù)自然數(shù)的積,n個元素的全排列叫做 ,表示為 .
6. 用全排列(或階乘)表示的排列數(shù)公式為 .
【例題與練習】
1. 計算:
①= ②= = ④=
⑤= ⑥= =
2. 某段鐵路上有12個車站,共需準備多少種普通客票?
3. 某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號,每次可以任掛一面、二面或三面,并且不同的順序表示不同的信號,一共可以表示多少種不同的信號?
小結(jié):解有關排列的應用題時,先將問題歸結(jié)為排列問題,然后確定原有元素和取出元素的個數(shù),即n、m的值.
4. 用0到9這十個數(shù)字,可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù) 個.
5. 用排列數(shù)表示下列各式:
① 10´9´8´7´6= ② 24´23´22´…´3´2´1=
③ n?(n-1) ?(n-2) ?(n-3)=
6.①從x個不同元素中任取3個的排列數(shù)為720,則x= ;
②,求x的值.
小結(jié):解有關排列數(shù)的方程關鍵在于用排列數(shù)公式將方程轉(zhuǎn)化為關于x的一元方程.
【課后檢測】
1.由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù) 個;
自然數(shù) 個;三位數(shù) 個.
2.5個人排成一排,共有 種不同的排法.
3.從5個人中任選兩人分別擔任班長和團書記,所有選法的總數(shù)為 .
4.求下列各式中的n:
① ② ③
5.求證:① ②
③
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