北京市2009屆高三數(shù)學(xué)期末試題分類匯總-圓錐曲線
1、(2009崇文區(qū))已知點(diǎn)
,直線
,點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn), 過點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BM的垂直平分線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是 A
(A)拋物線 (B)橢圓 (C)雙曲線的一支 (D)直線
3、(2009豐臺(tái)區(qū)).雙曲線
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )D
A.(? 1,0),(1,0) B
(? 3,0),(3,0)
C.(0,? 1),(0,1) D.(0,? 3),(0,3)
4、(2009東城區(qū))已知垂直豎在水平地面上相距20米的兩根旗桿的高分別為10米和15米,地面上的動(dòng)點(diǎn)
到兩旗桿頂點(diǎn)的仰角相等,則點(diǎn)
的軌跡是( )B
A.橢圓
B.圓
C.雙曲線
D.拋物線
5、(2009海淀區(qū))拋物線
的準(zhǔn)線方程為
( )A
A.
B.
C.
D.
6、(2009西城區(qū))已知圓
的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),
,線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是 ( )B
A. 圓
B. 橢圓
C. 雙曲線
D. 拋物線
7、(2009崇文區(qū))已知橢圓
的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),左頂點(diǎn)
,離心率
,
為右焦點(diǎn),過焦點(diǎn)
的直線交橢圓
于
、
兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)
).
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)當(dāng)
時(shí),求直線PQ的方程;
(Ⅲ)判斷
能否成為等邊三角形,并說明理由.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為
(a>b>0) ,
由已知 
∴
----------------------------------2分
∴ 橢圓方程為
.
---------------------------------------------4分
(Ⅱ)解法一
橢圓右焦點(diǎn)
.
設(shè)直線
方程為
(
∈R).
-------------------------------5分
由
得
.①
-----------6分
顯然,方程①的
.
設(shè)
,則有
. ----7分

.
∵
,
∴
.
解得
.
∴直線PQ 方程為
,即
或
. ----------9分
解法二: 橢圓右焦點(diǎn)
.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),
,不合題意.
設(shè)直線
方程為
,
--------------------------------------5分
由
得
. ① ----6分
顯然,方程①的
.
設(shè)
,則
. --------7分


=
.
∵
,
∴
,解得
.
∴直線
的方程為
,即
或
. --------9分
(Ⅲ)
不可能是等邊三角形.
------------------------------------------------11分
如果
是等邊三角形,必有
,
∴
,
∴
,
∴
,
∵
,
∴
,
∴
,
∴
,或
(無解).
而當(dāng)
時(shí),
,不能構(gòu)成等邊三角形.
∴
不可能是等邊三角形.--------------------------------------------------------14分
8、(2009豐臺(tái)區(qū))設(shè)橢圓M:
(a>b>0)的離心率為
,長軸長為
,設(shè)過右焦點(diǎn)F傾
斜角為
的直線交橢圓M于A,B兩點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)求證| AB | =
;
(Ⅲ)設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C,D,求|AB| + |CD|的最小
值。
解:(Ⅰ)

所求橢圓M的方程為
…3分
(Ⅱ)當(dāng)
≠
,設(shè)直線AB的斜率為k = tan
,焦點(diǎn)F ( 3 , 0 ),則直線AB的方程為
y = k ( x ? 3 ) 有
( 1 + 2k2 )x2 ? 12k2x + 18( k2 ? 1 ) = 0
設(shè)點(diǎn)A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 有x1 + x2 =
, x1x2 =
|AB| =
** … 6分
又因?yàn)? k = tan
=
代入**式得
|AB| =
………… 8分
當(dāng)
=
時(shí),直線AB的方程為x = 3,此時(shí)|AB| =
……………… 10分
而當(dāng)
=
時(shí),|AB|
=
=
綜上所述 所以|AB|
=
(Ⅲ)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C,D,
同理可得 |CD| =
=
……………………… 12分
有|AB|
+ |CD| =
+
=
因?yàn)閟in2
∈[0,1],所以 當(dāng)且僅當(dāng)sin2
=1時(shí),|AB|+|CD|有
最小值是
………………………… 14分
9、(2009昌平區(qū))直線
與拋物線
相交于A、B兩點(diǎn),O為拋物線的頂點(diǎn),若
.證明:直線
過定點(diǎn).
證明:
(I)當(dāng)直線
有存在斜率時(shí),設(shè)直線方程為
,顯然
.………2分
聯(lián)立方程得:
消去

由題意:
……………………5分
又由
得
, …………… …………………………7分
即
,解得
………………………………………9分
故直線
的的方程為:
,故直線過定點(diǎn)
……………11分
(II)當(dāng)直線
不存在斜率時(shí),設(shè)它的方程為
,顯然
聯(lián)立方程得:

,即
又由
得
,即
,解得
可知直線
方程為:
,故直線過定點(diǎn)
綜合(1)(2)可知,滿足條件的直線過定點(diǎn)
.………………………13分
10、(2009東城區(qū))已知橢圓
的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線
的焦點(diǎn)是橢圓
的一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)
在橢圓
上.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)已知直線
的方向向量為
,若直線
與橢圓
交于
、
兩點(diǎn),求
面積的最大值.
解: (Ⅰ)由已知拋物線的焦點(diǎn)為
,故設(shè)橢圓方程為
.
將點(diǎn)
代入方程得
,整理得
,
解得
或
(舍).
故所求橢圓方程為
. …………………………………………6分
(Ⅱ)設(shè)直線
的方程為
,設(shè)
代入橢圓方程并化簡得
,
………………9分
由
,可得
. (
)
由
,
故
.
又點(diǎn)
到
的距離為
,
………………11分
故
,
當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí)取等號(hào)(滿足
式)
所以
面積的最大值為
.
………………13分
11、(2009海淀區(qū))已知點(diǎn)A(0,1)、B(0,-1),P為一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PA、PB的斜率之積為
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(II)設(shè)Q(2,0),過點(diǎn)(-1,0)的直線
交于C于M、N兩點(diǎn),
的面積記為S,若對(duì)滿足條件的任意直線
,不等式
的最小值。
解:(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
由條件得
…………3分
即
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為
…………5分
注:無
扣1分
(II)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別是
當(dāng)直線
所以
所以
…………7分
當(dāng)直線
由
所以
…………9分
所以
因?yàn)?sub>
所以
綜上所述
…………11分
因?yàn)?sub>
恒成立
即
恒成立
由于
所以
所以
恒成立。…………13分
所以
…………14分
注:沒有判斷
為銳角,扣1分
12、(2009西城區(qū))已知拋物線
,點(diǎn)M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若m=1,l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(Ⅱ)若存在直線l使得
成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(Ⅰ)解:由題意,得
,直線l的方程為
.
由
, 得
,
設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為
, AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為
,
則
,
故點(diǎn)
-----------------3分
所以
,
故圓心為
, 直徑
,
所以以AB為直徑的圓的方程為
; --------------6分
方法一:(Ⅱ)解:設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為
,
.
則
,
所以
1
因?yàn)辄c(diǎn)A, B在拋物線C上,
所以
,
2
由12,消去
得
.
------------------10分
若此直線l使得
成等比數(shù)列,則
,
即
,所以
,
因?yàn)?sub>
,
,所以
,
整理得
,
3
--------------------12分
因?yàn)榇嬖谥本€l使得
成等比數(shù)列,
所以關(guān)于x1的方程3有正根,
因?yàn)榉匠?的兩根之積為m2>0, 所以只可能有兩個(gè)正根,
所以
,解得
.
故當(dāng)
時(shí),存在直線l使得
成等比數(shù)列. ----------14分
方法二:(Ⅱ)解:設(shè)使得
成等比數(shù)列的直線AB方程為
或
,
當(dāng)直線AB方程為
時(shí),
,
因?yàn)?sub>
成等比數(shù)列,
所以
,即
,解得m=4,或m=0(舍)------8分
當(dāng)直線AB方程為
時(shí),
由
,得
,
設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為
,
則
,
1
由m>0, 得
.
因?yàn)?sub>
成等比數(shù)列, 所以
,
所以
,
2
因?yàn)锳, B兩點(diǎn)在拋物線C上,
所以
,
3---------------11分
由123,消去
,
得
,
因?yàn)榇嬖谥本€l使得
成等比數(shù)列,
所以
,
綜上,當(dāng)
時(shí),存在直線l使得
成等比數(shù)列. ----------------------14分
試題詳情