【題目】已知函數(shù),證明.

1存在唯一的極小值點;

2的極小值點為.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析.

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并二次求導(dǎo),即設(shè),結(jié)合余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出當,恒成立,即可判斷出上的單調(diào)性,由零點存在定理可求出在區(qū)間上存在唯一的零點,進而可證明結(jié)論.

(2),由零點存在定理可得極小值點,進而可得,結(jié)合三角恒等變換可得,由正弦三角函數(shù)可求出.

解:(1,設(shè),則,

時,,所以.

時,,

綜上所述,當,恒成立,

上單調(diào)遞增.

,由零點存在定理可知,

函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點,,

結(jié)合單調(diào)性可得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)存在唯一極小值點.

2)由(1)知,,

,而,所以

,,故極小值點,

,即,由式,得

.,

,所以,即.

練習冊系列答案
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