【題目】已知橢圓:的左焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)圓:上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點(diǎn)的,兩點(diǎn).
(i)當(dāng)直線,的斜率都存在時(shí),記直線,的斜率分別為,.求證:;
(ii)求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i)證明見解析;(ii).
【解析】
(Ⅰ)把點(diǎn)代入橢圓方程,結(jié)合,,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)(i)設(shè)點(diǎn) ,寫出切線方程,聯(lián)立方程組,再由,結(jié)合韋達(dá)定理,寫出的表達(dá)式,化簡(jiǎn)得出結(jié)果;
(ii)設(shè)點(diǎn),,進(jìn)而求得直線和的直線方程,結(jié)合兩條直線的形式,可寫出直線的方程,運(yùn)用弦長(zhǎng)公式求得,結(jié)合的范圍,可求得的取值范圍.
(Ⅰ)∵橢圓的左焦點(diǎn),∴.
將代入,得.
又,∴,.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅱ)(i)設(shè)點(diǎn),設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為.
由,消去,得.
.
令,整理得.
由已知,則.
又,∴.
(ii)設(shè)點(diǎn),.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為.
由,消去,得.
.
令,整理得.
則.
∴直線的方程為.
化簡(jiǎn),可得,即.
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為或,也滿足.
同理,可得直線的方程為.
∵在直線,上,∴,.
∴直線的方程為.
由,消去,得.
∴,.
∴
.
又由(i)可知當(dāng)直線,的斜率都存在時(shí),;易知當(dāng)直線或斜率不存在時(shí),也有.
∴為圓的直徑,即.
∴.
又,∴.
∴的取值范圍為.
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A.B.C.D.
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(。;
(ⅱ).
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(1)求這批零件的長(zhǎng)度大于1.60分米的頻率,并求頻率分布直方圖中,,的值;
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【題目】已知橢圓:的左焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)圓:上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點(diǎn)的,兩點(diǎn).
(i)求證:;
(ii)求的面積的取值范圍.
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