【題目】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

(1)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.

(2)設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，在斜率存在時設(shè)方程為, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到m,k的關(guān)系，進(jìn)而得直線MN恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)Q的位置.

(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.

(2)設(shè)點(diǎn).

因?yàn)?/span>AM⊥AN，∴，即,①

當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)方程為,如圖1.

代入橢圓方程消去并整理得：,

②,

根據(jù),代入①整理可得：

將②代入，，

整理化簡得,

∵不在直線上，∴，

∴，

于是MN的方程為，

所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，可得,如圖2.

代入得,

結(jié)合,解得,

此時直線MN過點(diǎn),

由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，

所以AE中點(diǎn)Q滿足為定值（AE長度的一半）.

由于，故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得.

故存在點(diǎn)，使得|DQ|為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將某公司200天的日銷售收入（單位：萬元）統(tǒng)計如下表（1）所示，

日銷售收入

頻數(shù)

12

28

36

54

50

20

頻率

表（1）

（1）完成上述頻率分布表，并估計公司這200天的日均銷售收入（同一組中的數(shù)據(jù)用該組所在區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）已知該公司2020年第一、二季度的日銷售收入如下表（2）所示，第三季度的日銷售收入及其頻率可用表（1）中的數(shù)據(jù)近似代替，且在2020年，當(dāng)公司日銷售收入為時，員工的日績效為100元，當(dāng)公司日銷售收入為時，員工的日績效為200元，當(dāng)公司日銷售收入為時，員工的日績效為300元.以頻率估計概率.

①若在第三季度某員工的工作日中隨機(jī)抽取2天，記該員工2天的績效之和為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

②若每個員工每個季度的工作日為50天，估計2020年前三個季度每個員工獲得的績效的總額.

日銷售收入

頻率

0.2

0.3

0.2

0.1

0.1

0.1

表（2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與曲線的交線為直線．

（1）求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線與軸交于點(diǎn)，與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H，P為拋物線C上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)，已知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為5.

（1）求C的方程；

（2）過C的焦點(diǎn)F作直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若以AH為直徑的圓過B，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，AB//CD，是以為斜邊的等腰直角三角形，且平面平面ABCD，點(diǎn)F滿足，.

（1）試探究為何值時，CE//平面BDF，并給予證明；

（2）在（1）的條件下，求直線AB與平面BDF所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）經(jīng)過圓：上一動點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).

（i）當(dāng)直線，的斜率都存在時，記直線，的斜率分別為，.求證：；

（ii）求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)時，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；

（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上，，動點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為________；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為___________．

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