【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有.
(1)若,求h(x)的表達(dá)式;
(2)若,求k的取值范圍;
(3)若求證:.
【答案】(1);(2);(3)證明詳見解析
【解析】
(1)求得與的公共點,并求得過該點的公切線方程,由此求得的表達(dá)式.
(2)先由,求得的一個取值范圍,再由,求得的另一個取值范圍,從而求得的取值范圍.
(3)先由,求得的取值范圍,由方程的兩個根,求得的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.
(1)由題設(shè)有對任意的恒成立.
令,則,所以.
因此即對任意的恒成立,
所以,因此.
故.
(2)令,.
又.
若,則在上遞增,在上遞減,則,即,不符合題意.
當(dāng)時,,符合題意.
當(dāng)時, 在上遞減,在上遞增,則,
即,符合題意.
綜上所述,.
由
當(dāng),即時,在為增函數(shù),
因為,
故存在,使,不符合題意.
當(dāng),即時,,符合題意.
當(dāng),即時,則需,解得.
綜上所述,的取值范圍是.
(3)因為對任意恒成立,
對任意恒成立,
等價于對任意恒成立.
故對任意恒成立.
令,
當(dāng),,
此時,
當(dāng),,
但對任意的恒成立.
等價于對任意的恒成立.
的兩根為,
則,
所以.
令,則.
構(gòu)造函數(shù),,
所以時,,遞減,.
所以,即.
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【題目】數(shù)據(jù)的收集和整理在當(dāng)今社會起到了舉足輕重的作用,它用統(tǒng)計的方法來幫助人們分析以往的行為習(xí)慣,進(jìn)而指導(dǎo)人們接下來的行動.
某支足球隊的主教練打算從預(yù)備球員甲、乙兩人中選一人為正式球員,他收集到了甲、乙兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù),如下表:
場次 | 第一場 | 第二場 | 第三場 | 第四場 | 第五場 |
甲 | 28 | 33 | 36 | 38 | 45 |
乙 | 39 | 31 | 43 | 39 | 33 |
(1)根據(jù)這兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù),完成莖葉圖(莖表示十位,葉表示個位);分別在平面直角坐標(biāo)系中畫出兩名球員的傳球成功次數(shù)的散點圖;
(2)求出甲、乙兩名球員近期5場比賽的傳球成功次數(shù)的平均值和方差;
(3)主教練根據(jù)球員每場比賽的傳球成功次數(shù)分析出球員在場上的積極程度和技術(shù)水平,同時根據(jù)多場比賽的數(shù)據(jù)也可以分析出球員的狀態(tài)和潛力.你認(rèn)為主教練應(yīng)選哪位球員?并說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(R).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意實數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的最大值為,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的一個頂點為,右焦點為,且,其中為原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點滿足,點在橢圓上(異于橢圓的頂點),直線與以為圓心的圓相切于點,且為線段的中點.求直線的方程.
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【題目】已知橢圓:的左焦點,點在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過圓:上一動點作橢圓的兩條切線,切點分別記為,,直線,分別與圓相交于異于點的,兩點.
(i)求證:;
(ii)求的面積的取值范圍.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點為極點,以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)過原點的直線與直線交于點,與曲線交于、兩點,求的值.
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【題目】已知雙曲線: 的左、右焦點分別為, 為坐標(biāo)原點, 是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點,直線分別交雙曲線左、右支于另一點, ,且,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
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【題目】某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,每袋葡萄糖的重量是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機器工作正常時,每袋葡萄糖平均重量為0.5kg,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015kg.
(1)已知包裝每袋葡萄糖的成本為1元,若發(fā)現(xiàn)包裝好的葡萄糖重量異常,則需要將該袋葡萄糖進(jìn)行重新包裝,假設(shè)重新包裝后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量滿足,則認(rèn)為該袋葡萄糖重量正常. 問:在機器工作正常的情況下,至少包裝多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包裝好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相應(yīng)成本的最小期望值.
(2)某日開工后, 為檢査該包裝機工作是否正常, 隨機地抽取它所包裝的葡萄糖9袋,若抽取的9袋葡萄糖稱得凈重(kg)為:0.496, 0.508, 0.524, 0.519, 0.495, 0.510, 0.522, 0.513, 0.512.用樣本平均數(shù)作為的估計值,以作為檢驗統(tǒng)計量,其中為樣本總數(shù),服從正態(tài)分布,且.
①若機器工作正常時, 每袋葡萄糖的重量服從的正態(tài)分布曲線如下圖所示,且經(jīng)計算得上述樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差0.022.請在下圖(機器正常工作時的正態(tài)分布曲線)中,繪制出以該樣本作為估計得到的每袋葡萄糖所服從的正態(tài)分布曲線的草圖.
②若,就推斷該包裝機工作異常,這種推斷犯錯誤的概率不超過,試以95%的可靠性估計該包裝機工作是否正常.
附: 若隨機變量服從正態(tài)分布:,
參考數(shù)據(jù):;
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