Question

10．如圖1，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，連接CM、EM．
（1）問題發(fā)現(xiàn)：
①線段CM、EM的數(shù)量關(guān)系是CM=ME；
②∠CME、∠CAB的數(shù)量關(guān)系是∠CME=2∠CAB．
（2）拓展探究：
將△BED繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，小明猜想（1）中的結(jié)論①②仍然成立，并嘗試取AB的中點(diǎn)G和BD的中點(diǎn)F．作了△CGM和△MFE，請(qǐng)你證明小明的猜想．
（3）問題解決：
已知∠B=30°，BD=AC=4，當(dāng)△BED旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段CM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，進(jìn)行分析即可；
（2）運(yùn)用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和中位線定理證明全等三角形，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（3）運(yùn)用30°的三角函數(shù)求出AB，BE，和AE的長(zhǎng)度結(jié)合前面結(jié)論進(jìn)一步求解即可．

解答 解：（1）①CM=ME；②∠CME=2∠CAB；
（2）∵AB的中點(diǎn)G和BD的中點(diǎn)F，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∴CG=BG，MG∥BD，MG=$\frac{1}{2}$DB=BF，EF=$\frac{1}{2}$DB=BF，MF=$\frac{1}{2}$AB=BG，
∴∠CGA=2∠ABC，CG=MF，MG=EF，
∵∠CGM=∠CGA+∠AGM=2∠ABC+∠ABD，
∠MFE=∠MFD+∠DFE=∠ABD+2∠DBE，
而∠ABC=∠DBE，
∴∠CGM=∠MFE．
在△CGM和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=MF}\\{∠CGM=∠MFE}\\{MG=EF}\end{array}\right.$，
∴△CGM≌△MFE．
∴CM=ME，∠EMF=∠MCG．
∴∠CME=∠CMG+∠GMF+∠EMF=∠CMG+∠MGA+∠MCG
=180°-∠AGC=2∠BAC．
（3）
∵∠B=30°，BD=AC=4，
∴AB=8，BE=2$\sqrt{3}$，DE=2，
如圖1，

AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
CM=ME=$\frac{1}{2}$（AE+DE）=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{13}$+2）=$\sqrt{13}$+1，
如圖2，

AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$
CM=ME=$\frac{1}{2}$（AE-DE）=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{13}$-2）=$\sqrt{13}$-1，
綜上所述：線段CM的長(zhǎng)為：$\sqrt{13}$+1或$\sqrt{13}$-1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)綜合問題，知道直角三角形斜邊中線等于斜邊一半會(huì)產(chǎn)生等腰三角形，會(huì)用三角形外角的性質(zhì)，會(huì)解直角三角形，能數(shù)練證明三角形期全等是解題的關(guān)鍵．