Question

18．在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為射線AB上一點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)C作線段CD的垂線l，在直線l上，分別在點(diǎn)C的兩側(cè)截取與線段CD相等的線段CE和CF，連接AE、BF．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），如圖1
①請(qǐng)你將圖形補(bǔ)充完整；
②線段BF、AD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系為相等；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2
①請(qǐng)你將圖形補(bǔ)充完整；
②在（1）中②問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立請(qǐng)進(jìn)行證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①D在線段AB上時(shí)，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖1中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．
（2）①D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，在直線l上截取CE=CF=CD，即可畫出圖象．②在圖2中證明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

解答 解：（1）①見圖1所示．
②證明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCF，
∴∠ACD=∠BCF
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．
故答案為：垂直、相等．
（2）①見圖2所示．
②成立．理由如下：
證明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
即∠ACD=∠BCF，
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、兩條直線垂直的證明方法，尋找全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．