Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，為線段中點(diǎn).

（1）求的值；

（2）求證：；

（3）以拋物線的頂點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)（如圖2）；

①當(dāng)面積最大時，求的長度；

②若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)運(yùn)動的路徑長.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）①或；②.

【解析】

（1）將代入二次函數(shù)的解析式即可求解；

（2）證得是等邊三角形即可證得結(jié)論；

（3）①根據(jù)題意，當(dāng)或時，或面積最大，利用三角形中位線定理可求得的長，利用勾股定理可求得，即可求得答案；

②根據(jù)點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是半徑為2的，則的中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡也是圓，同樣，的中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡也是圓，據(jù)此即可求得答案．

∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，

∴，

解得：，

故答案為：，；

（2）由(1)得：拋物線的解析式為，

∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，

∴拋物線的對稱軸為：，

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，

∵，

，

∴，

∴是等邊三角形，

∵為線段中點(diǎn)，

∴；

（3）①∵為定值，當(dāng)時，面積最大，如圖，

由(2)得，，，

∴∥，

∵點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴∥，,

∴三點(diǎn)共線，

在Rt中，，，

∴，

∴；

同理，當(dāng)時，面積最大，

同理可求得：；

故答案為：或；

②如圖，

∵點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是，半徑為，

∴的中點(diǎn)的運(yùn)動軌跡也是圓，半徑為1，

∴的中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡也是圓，半徑為，

∴點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為：．

故答案為：．