Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1）求拋物線(xiàn)的解析式．

（2）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)軸于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）如圖所示，設(shè)拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，在拋物線(xiàn)的第一象限內(nèi)，是否存在一點(diǎn)，使得四邊形的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）或（6，-7）；（3）存在點(diǎn)Q（）使得四邊形OFQC的面積最大，見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先由點(diǎn)在直線(xiàn)上求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出、的坐標(biāo)，從而可表示出和的長(zhǎng)，由條件可知到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）作軸于點(diǎn)，設(shè)，，知，，，根據(jù)四邊形的面積建立關(guān)于的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．

解：（1）點(diǎn)在直線(xiàn)上，

，，

把、、三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得，解得，

拋物線(xiàn)解析式為；

（2）設(shè)，則，，

則，，

，

，

當(dāng)時(shí)，解得或，但當(dāng)時(shí)，與重合不合題意，舍去，

；

當(dāng)時(shí)，解得或，但當(dāng)時(shí)，與重合不合題意，舍去，

；

綜上可知點(diǎn)坐標(biāo)為或；

（3）存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形的面積最大．

如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

設(shè)，，

則，，，

四邊形的面積

，

當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．