【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點(diǎn),以BP為邊作正方形BPEF,使點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線上,連接EA、EC.

(1)如圖1,若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,求證:EA=EC;

(2)若點(diǎn)P在線段AB上.

①如圖2,連接AC,當(dāng)PAB的中點(diǎn)時(shí),判斷ACE的形狀,并說明理由;

②如圖3,設(shè)AB=a,BP=b,當(dāng)EP平分∠AEC時(shí),求a:b及∠AEC的度數(shù).

【答案】(1)詳見解析;(2△ACE為直角三角形,理由見解析;(3∠AEC=45°

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理易證△APE≌△CFE,由全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論;(2根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)即可判定△ACE為直角三角形;根據(jù)PE∥CF,得到,代入ab的值計(jì)算求出ab,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG,證明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC的度數(shù).

試題解析:(1)證明:四邊形ABCD為正方形

∴AB=AC

四邊形BPEF為正方形

∴∠P=∠F=90°PE=EF=FB=BP

∵AP=AB+BP,CF=BC+BF

∴CF=AP

△APE△CFE中:EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF

∴△APE≌△CFE

∴EA=EC

2①∵PAB的中點(diǎn),

∴PA=PB,又PB=PE

∴PA=PE,

∴∠PAE=45°,又∠DAC=45°

∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;

②∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,

∴AP=PG=a﹣bBG=a﹣2a﹣2b=2b﹣a

∵PE∥CF,

,即,

解得,a=b;

GH⊥ACH

∵∠CAB=45°,

∴HG=AG=×2b﹣2b=2﹣b,又BG=2b﹣a=2﹣b,

∴GH=GB,GH⊥ACGB⊥BC,

∴∠HCG=∠BCG,

∵PE∥CF

∴∠PEG=∠BCG

∴∠AEC=∠ACB=45°

∴ab=1;∴∠AEC=45°

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1如圖,點(diǎn)P從ABCD,全程共移動(dòng)了 cm(用含a、b的代數(shù)式表示;

(2如圖,已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),移動(dòng)2s到達(dá)B點(diǎn),繼續(xù)移動(dòng)3s,到達(dá)BC的中點(diǎn),若點(diǎn)P與O的移動(dòng)速度相等,求在這5s時(shí)間內(nèi)圓心O移動(dòng)的距離;

(3如圖,已知a=20,b=10,是否存在如下情形:當(dāng)O到達(dá)O1的位置時(shí)(此時(shí)圓心O1在矩形對(duì)角線BD上,DP與O1恰好相切?請(qǐng)說明理由.

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