題目列表(包括答案和解析)
1. 已知二次函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α、β(α<β)是方程f(x)=0的兩根,則a、b、α、β的大小關系是
A.α<a<b<β B.a<α<β<b
C.a<α<b<β D.α<a<β<b
(13)用平面截半徑為R的球,如果球心到平面的距離為,那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為______________.
講解:設截得小圓的半徑是,球的半徑是R, 畫一個軸截面圖形. 在中,顯然,,于是
故截得小圓的面積與球的表面積的比值為,應填
評注:題中的就是我們常用的三角板模型,它是高考的熱門話題.
(14)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_____________.
講解:將函數(shù)式變形為. 由,得. 于是,函數(shù)的最小值為應填
評注:如果畫出函數(shù)的圖象,就可看出最小值對應的點是函數(shù)圖象的左端點.
(15)已知函數(shù)是奇函數(shù),當時,. 設的反函數(shù)是,則________.
講解:易求得:當時,. 這樣由,解得應填
評注:反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域.
(16)設P是曲線上的一個動點,則點P到點的距離與點P到軸的距離之和的最小值是______________.
講解:顯然,軸是拋物線的準線,而是拋物線的焦點,于是.
如圖,
應填
評注:如果聯(lián)想到拋物線的定義,就容易找到解題的開竅點.
(1)設集合,,則集合中元素的個數(shù)為( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
講解:在同一坐標系中,作出單位圓和拋物線的圖形,易知它們有兩個交點,應選B.
評注:也可通過解如下方程組求解:
(2)函數(shù)的最小正周期是( )
A. B. C. D.
講解:作出函數(shù)的圖象,易知最小正周期是,應選C.
評注:函數(shù)的最小正周期是函數(shù)的一半.
(3) 設數(shù)列是等差數(shù)列,且, 是數(shù)列的前項的和,則( )
A. B. C. D.
講解:由題意得 即于是,應選B.
評注:一般解法是:設等差數(shù)列的公差是,則有已知,得
解出 于是
從而 ,應選B.
(4) 圓在點處的切線方程是( )
A. B.
C. D.
講解:顯然,點的坐標不適合方程A, C,從而應否定A, C; 將圓的方程化為,圓心到直線的距離為
,不是圓的半徑2,故應選D.
評注:一般解法為:設圓的切線方程是,即,
則圓心到切線的距離為
解出
(5) 函數(shù)的定義域是( )
A. B.
C. D.
講解: 取,有,否定C, D; 取,有,否定B. 應選A.
評注:一般解法為:由題意得 ,即, 等價于 .
(6) 設復數(shù)的幅角的主值為,虛部為,則( )
A. B.
C. D.
講解:設復數(shù), 則有 ,于是 =.應選A.
評注:也可用代數(shù)形式:
(7) 設雙曲線的焦點在軸上,兩條漸近線為,則雙曲線的離心率( )
A. 5 B. C. D.
講解:設雙曲線的方程是,其兩條漸近線為,于是,即有,有,,即.應選C.
評注:雙曲線對于的兩條漸近線為,也就是.
(8) 不等式的解集為( )
A. B. C. D.
講解:取,適合不等式,否定C; 取,適合不等式,否定A, B. 應選D.
評注:一種直接解法是:由原不等式得 或,即或
(9) 正三棱錐的底面邊長為2,側面均為直角三角形,則此三棱柱的體積為( )
A. B. C. D.
講解:顯然,側面是等腰直角三角形,其直角邊為,于是三棱柱的體積為 應選C.
評注:本題的模型是正方體截下的一個,教室的一個墻角. 當中的體積計算需要轉換角度思考問題.
(10) 在中,,則邊上的高為( )
A. B. C. D.
講解:由余弦定理 ,得,有.應選B.
評注:請讀者自己補上幾何圖形.
(11) 設函數(shù)則使得的自變量的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
講解:取,有成立,否定C, D;取,
有成立,否定B. 應選A.
評注:分段函數(shù)?汲P. 本題也可給出直接解法,圖象解法.
(12) 將4名教師分配到3所中學任教,每所中學至少1名教師,則不同的分配方案共有( )
A. 12 種 B. 24 種 C 36 種 D. 48 種
講解: 本題可以給出一種直接解法 應選C.
評注: 請讀者用文字語言表述的實際意義. 再想想:解法是否正確?
22、(14分)已知數(shù)列的前項和滿足
(1) 寫出數(shù)列的前三項;
(2) 求數(shù)列的通項公式;
(3) 證明:對任意的整數(shù),有 .
18、(12分)解方程
19(12分)某村計劃建造一個室內面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內,沿左、右兩端與后側內墻各保留1寬的通道,沿前側內墻保留3寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時?蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少?
20(12分)三棱錐P-ABC中,側面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,
(1) 求證:AB ⊥ BC;
(2) 設AB=BC=,求AC與平面PBC所成角的大小.
21(12分)設橢圓的兩個焦點是與,且橢圓上存在一點,使得直線與垂直.
(1)求實數(shù)的取值范圍;
(2)設是相應于焦點的準線,直線與相交于點,若,求直線的方程.
17、(12分)已知為銳角,且,求的值。
16、設是曲線上的一個動點,則點到點的距離與點到軸的距離之和的最小值為 .
15、已知函數(shù)是奇函數(shù),當時,,設的反函數(shù)是,則 .
14、函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 .
13、用平面截半徑為的球,如果球心到平面的距離為,那么截得小圓的面積與球的表面積的比值為 .
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