1. m和n都是正整數(shù)，a₁,a₂,...,a_m是{1,2,...,n}中不同的數(shù)，只要有a_i +a_j≤ n（i,j可能相同）那么就有某個(gè)k使a_i +a_j=a_k，

求證(a₁+...+a_m)/m≥(n+1)/2。

2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中點(diǎn)，O是線AM上的點(diǎn)且OB⊥AB，Q為線段BC上不同于B,C 的任意一點(diǎn)，E,F分別在AB,AC上使得E,Q,F不同并共線。

求證：OQ⊥EF當(dāng)且僅當(dāng)QE=QF。

3. 對(duì)任何正整數(shù)k，定義f(k)為集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二進(jìn)制表示后恰有3個(gè)1的元素的個(gè)數(shù)，

求證對(duì)于每個(gè)正整數(shù)m，存在至少一個(gè)k使f(k)=m；并求出使得恰有一個(gè)k的所有m值。

4. 試求出所有的正整數(shù)對(duì)(m,n)使得(n³+1)/(mn-1)是整數(shù)。

5. S是所有大于-1的實(shí)數(shù)集，試找出所有的從S到S的函數(shù)f滿足對(duì)所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且對(duì)于-1<x<0和0<x，f(x)/x使嚴(yán)格遞增的。

6. 試證明存在滿足下列性質(zhì)的正整數(shù)集合A：對(duì)任何由素?cái)?shù)構(gòu)成的無(wú)限集S，都有k≥2以及兩個(gè)正整數(shù)m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k個(gè)不同元素的乘積。

試題詳情

1. 設(shè)f(x)=xⁿ+5x^n-1+3，其中n>1是一個(gè)整數(shù)。

求證f(x)不能表示成兩個(gè)非常數(shù)的整系數(shù)得多項(xiàng)式的乘積。

2. 設(shè)D是銳角三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)且∠ADB=∠ACB+90^o，AC?BD=AD?BC，

3. 在一個(gè)無(wú)限大的棋盤上以如下方式做游戲。開始時(shí)棋盤中的一個(gè)n×n的框上整齊的擺放著n²個(gè)棋子（每個(gè)小方格上放著一個(gè)棋子），游戲的每一步都是在水平或者豎直方向上跨越一個(gè)棋子而
跳到一個(gè)空格子上去，并同時(shí)取走所跨越過的棋子。

試找出所有的n值使得游戲以只留一個(gè)棋子在棋盤上而結(jié)束。

4. 對(duì)平面上的三個(gè)點(diǎn)P,Q,R，定義m(PQR)為△PQR的最短高的長(zhǎng)度(如果P,Q,R共線當(dāng)然有 m(PQR)=0)。

求證對(duì)任何點(diǎn)A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。

5. 問是否存在一個(gè)從正整數(shù)到正整數(shù)的函數(shù)f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n對(duì)所有n，并且
f(n<f(n+1))？

6. 有n>1盞燈L₀,L₁，...,L_n-1繞成一圈，為方便L_n+k也表示L_k。 一盞燈只有開或關(guān)兩個(gè)狀態(tài)，初始時(shí)刻它們?nèi)情_著的，依次執(zhí)行步驟s₀,s₁,...,：在步驟s_i， 如果L_i-1點(diǎn)燃，就關(guān)掉L_i，否則什么都不做。試證明：

試題詳情

1. 試找出所有的整數(shù)a,b,c滿足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。

2. 找出所有定義在實(shí)數(shù)上并且取值也是實(shí)數(shù)的函數(shù)f使得對(duì)所有x,y都有

f(x²+f(y))=y+f(x)²。

3. 空間中有9個(gè)點(diǎn)，無(wú)4點(diǎn)共面，每?jī)牲c(diǎn)之間連接一個(gè)被染上紅色或藍(lán)色或者不染色的線段，試找出最小的n使得，只要恰好有n條線段被染色，這些染色的線段一定包含一個(gè)同色三角形（即三角形的三邊被染上相同的顏色）。

4. L是圓Γ的一條切線，M是L上的一點(diǎn)，試找出所有這樣的點(diǎn)P的軌跡：存在L上的關(guān)于M對(duì)稱的兩點(diǎn)Q,R，△PQR的內(nèi)切圓是Γ。

5. 設(shè)S是三維空間中的一個(gè)有限點(diǎn)集， 集合S_x,S_y,S_z分別是S在平面yz,zx,xy上的投影，

求證：|S|²<=|S_x|?|S_y|?|S_z|。

其中|A|表示集合A的元素個(gè)數(shù)。 

[注：一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)平面上正交投影指的是該點(diǎn)到平面作垂線的垂足。]

6. 對(duì)正整數(shù)n，S(n)是滿足如下條件最大的整數(shù)：對(duì)每個(gè)正整數(shù)k<= S(n)，n²都可寫成k個(gè)完全平方數(shù)的和。

試題詳情

1. 設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，∠A,∠B,∠C的交平分線分別交對(duì)邊于A',B',C'點(diǎn)，求證: 

1

< 

AI?BI?CI

≤

8

4

AA'?BB'?CC'

27

2. 設(shè)n>6是一個(gè)整數(shù)，a₁,a₂,...,a_k 都是小于n的正整數(shù)并且與n互素。

如果a₂-a₁=a₃-a₂=... =a_k-a_k-1>,

求證，n是質(zhì)數(shù)或者是2的冪次方。

3. 試找出最小的整數(shù)n使得每一個(gè)S的n元子集都包含5個(gè)兩兩互素的數(shù)。

4. 設(shè)G是一個(gè)有k條邊的連通圖，試證明可是對(duì)這些邊編號(hào)1,2,...,k使得對(duì)于每個(gè)屬于兩條或兩條以上的邊的頂點(diǎn)， 從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有邊的標(biāo)號(hào)的最大公約數(shù)是1。

注：一個(gè)圖是由一組頂點(diǎn)和一些連接這些頂點(diǎn)的線段（稱為邊）組成。 每對(duì)頂點(diǎn)之間最多有1條邊。如果對(duì)圖中的任何兩個(gè)不同的頂點(diǎn)x,y都有一些頂點(diǎn)x=v₀,v₁,..., v_m=y使得v_i,v_i+1(0<=i<m)之間都有一條邊，則稱這個(gè)圖是連通的。

5. X是△ABC內(nèi)部中的一個(gè)點(diǎn)，試證明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一個(gè)不大于30^o。

6. 任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)a>1，試構(gòu)造一個(gè)有界的無(wú)限序列x₀,x₁,x₂,... 

使得對(duì)任何x≠y都有|x_i-x_j||i-j|^a>=1。 

注：一個(gè)無(wú)限實(shí)數(shù)序列x₀,x₁,x₂,... 是有界的如果存在一個(gè)常數(shù)C使得|x_i|<C對(duì)任何i成立。

試題詳情

1. 弦AB,CD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)E，M是線段EB上的一點(diǎn)，過E點(diǎn)與△DEM外接圓的切線分別交BC,AC于F,G。

設(shè)t=AM/AB，試用t表示EF/EG。

2. 設(shè)n>=3，考慮一個(gè)圓上由2n-1個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成的集合E。現(xiàn)給E中恰好k個(gè)點(diǎn)染上黑色，如果至少有一對(duì)黑點(diǎn)使得這兩個(gè)黑點(diǎn)之間的弧上（兩段弧中的某一個(gè)）包含恰好E中的n個(gè)點(diǎn)，就成這樣的染色方法是“好的”。

試找出對(duì)于集合E能保證任意一種染色方法都是“好的”的最小的k值。

3. 試找出所有大于1的正整數(shù)n滿足(2ⁿ+1)/n²也是整數(shù)。

4. 試構(gòu)造一個(gè)從正有理數(shù)集到正有理數(shù)集的函數(shù)f使

   f(xf(y))=f(x)/y 對(duì)任何x,y都成立。

5. 給定一個(gè)初始整數(shù)n₀>1，兩個(gè)玩家A,B根據(jù)下述規(guī)則交替的選擇整數(shù)n₁,n₂,n₃,...：

若A選到了數(shù)1990就獲勝；若B選到了1就獲勝。分別求除滿足下述條件之一的n₀：

  (1) A有必勝策略；

  (2) B有必勝策略；

  (3) A,B都沒有必勝策略。

6. 求證存在一個(gè)凸1990邊形使得所有角都相等并且邊長(zhǎng)是1²,2²,...,1990²（順序不定）。

試題詳情

1.  試證明集合{1,2,...,1989}可以分拆成117個(gè)子集合A₁,A₂,...,A₁₁₇ （即這些子集合互不相交且并集為整個(gè)集合），滿足每個(gè)A_i包含17個(gè)元素，并且每個(gè)A_i中元素之和都相等。

2.  銳角△ABC，內(nèi)角∠A的角平分線交△ABC的外界圓于A_1，類似定義B₁,C₁點(diǎn)。設(shè)AA₁與∠ B,∠C的外交平分線交于A₀點(diǎn)，類似定義B₀,C₀點(diǎn)。 

求證：△A₀B₀C₀的面積是六邊形AC₁BA₁CB₁的 兩倍也是△ABC面積的至少4倍。

3. 設(shè)n,k是正整數(shù)，S是由平面上n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合并且無(wú)三線共點(diǎn)，對(duì)任何S中的點(diǎn)P至少存在S中的k個(gè)點(diǎn)與P等距離。

求證： k<1/2+√2n。

4. 凸四邊形ABCD的邊AB,AD,BC滿足AB=AD+BC，四邊形內(nèi)部有一與直線CD距離為h的點(diǎn)P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，

求證：1/√h<=1/√AD+1/√BC。

5. 試證明對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，存在n個(gè)連續(xù)的正整數(shù)使得其中無(wú)素?cái)?shù)或素?cái)?shù)的冪。

6. 設(shè){x₁,x₂,...,x_m} 是{1,2,...,2n}的一個(gè)排列，其中n是一個(gè)正整數(shù)。如果|x_i-x_i+1|=n對(duì)至少 {1,2,...,2n-1}中的一個(gè)i成立就說(shuō)這個(gè)排列{x₁,x₂,...,x_m}具有性質(zhì)P。 試證明對(duì)于任意的n，具有性質(zhì)P的排列都比不具有的多。

試題詳情

1.  找出所有具有下列性質(zhì)的三位數(shù) N：N能被11整除且 N/11等于N的各位數(shù)字的平方和。

2.  尋找使下式成立的實(shí)數(shù)x：

4x²/(1 - √(1 + 2x))²  <  2x + 9

3.  直角三角形ABC的斜邊BC的長(zhǎng)為a，將它分成 n 等份（n為奇數(shù)），令a為從A點(diǎn)向中間的那一小段線段所張的銳角，從A到BC邊的高長(zhǎng)為h，求證：

tan a = 4nh/(an² - a).

4.  已知從A、B引出的高線長(zhǎng)度以及從A引出的中線長(zhǎng)，求作三角形ABC。

5.  正方體ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，Y是B'D'上任意一點(diǎn)。

6.  一個(gè)圓錐內(nèi)有一內(nèi)接球，又有一圓柱體外切于此圓球，其底面落在圓錐的底面上。令V₁ 為圓錐的體積，V₂ 為圓柱的體積。

    (a).  求證：V₁ 不等于 V₂ ；

    (b).  求V₁/V₂ 的最小值；并在此情況下作出圓錐頂角的一般。

7.  等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令A(yù)B=a,CD=c，梯形的高為 h。X點(diǎn)在對(duì)稱軸上并使得 角BXC、AXD都是直角。試作出所有這樣的X點(diǎn)并計(jì)算X到兩底的距離；再討論在什么樣的條件下這樣的X點(diǎn)確實(shí)存在。

試題詳情

1. 考慮平面上同一圓心的兩個(gè)半徑分別為R > r的圓。P點(diǎn)是小圓上一個(gè)固定的點(diǎn)，B使大圓上的動(dòng)點(diǎn)，BP交大圓于C，過P點(diǎn)作BP的垂線交小圓于A點(diǎn)（如果相切則A=P），

2. n是正整數(shù)， A₁, A₂, ... , A_2n+1 都是集合B的子集，假設(shè)

_{試問對(duì)于什么樣的n值有辦法將B中的元素都標(biāo)上0或1使得每個(gè)} A_{i 都恰好包含n個(gè)標(biāo)0的元素。}

3. 函數(shù) f 定義在正整數(shù)集上：f(1) = 1; f(3) = 3; 且對(duì)每個(gè)正整數(shù) n 有

f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)。

試確定小于或等于1988并滿足 f(n) = n 的正整數(shù) n 的個(gè)數(shù)。

4. 試證明滿足

1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) >= 5/4.

的所有實(shí)數(shù) x 的集合是一些互不相交的區(qū)間的并集，并且這些區(qū)間的長(zhǎng)度之和是 1988。

5.  三角形△ABC, 角∠A是直角，D是BC邊上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD 的內(nèi)心的連線分別交邊AB, AC于K,L。求證：三角形ABC的面積是三角形AKL的面積的至少兩倍。

6. a,b都是正整數(shù)，且 ab+1整除 a² + b². 求證(a² + b²)/(ab + 1)是完全平方數(shù)。

試題詳情

1.  設(shè) p_n(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 個(gè)固定點(diǎn)的排列的個(gè)數(shù)，求證 k從 0 到 n 對(duì)(k p_n(k) )的求和是 n!。

[一個(gè)集合S的一個(gè)排列是從S到它自身的一一映射。元素 i 稱為是 f 固定點(diǎn)如果 f(i) = i。]

2. 銳交三角形ABC 的內(nèi)角A的角平分線交BC于 L，交ABC的外接圓于 N，從 L 點(diǎn)向 AB,AC做垂線，垂足分別是 K、M，求證四邊形 AKNM的面積與三角形ABC的面積相等。

3.  x₁, x₂, ... , x_n 是實(shí)數(shù)并且滿足x₁² + x₂² + ... + x_n² = 1，求證對(duì)每個(gè)正整數(shù)k >= 2存在不全為0的整數(shù)a₁, a₂, ... , a_n，使得對(duì)每個(gè) i有|a_i| <= k - 1 及

|a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n| <= (k - 1)√n/(kⁿ-1)。

4. 求證不存在從非負(fù)整數(shù)到非負(fù)整數(shù)的函數(shù) f滿足對(duì)所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。 

5. n是大于或等于3的整數(shù)，求證存在一個(gè)由平面上n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合滿足任何兩點(diǎn)的距離都是無(wú)理數(shù)并且任何三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積為有理數(shù)的非退化的三角形。

6. n是大于或等于2的整數(shù)，如果對(duì)所有0<=k<=√n/3都有k² + k + n 是素?cái)?shù)，則

當(dāng)0<=k<=n-2時(shí)，k² + k + n 都是素?cái)?shù)。

試題詳情

1.  d是不為2,5,13的正整數(shù)，試證明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的兩數(shù)a,b滿足ab-1不是一個(gè)完全平方數(shù)。

2. 在三角形 A₁A₂A₃ 所在的平面上有一給定點(diǎn)P₀，當(dāng)s>=4時(shí)定義 A_s = A_s-3 ，現(xiàn)使用以下的方法構(gòu)造一系列點(diǎn)P₁, P₂, P₃, ...： P_k+1 是 P_k 繞 A_k+1 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120度得到的點(diǎn)（k = 0, 1, 2,...）。如果 P₁₉₈₆ = P₀，求證A₁A₂A₃是等邊三角形。

3. 給正五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)賦值一個(gè)整數(shù)，使這5個(gè)整數(shù)之和是正的。對(duì)于任何三個(gè)連續(xù)的頂點(diǎn)設(shè)它們所賦予的數(shù)分別是x,y,z，如果y < 0則執(zhí)行下述操作：將x,y,z分別替換為x + y, -y, z + y。重復(fù)執(zhí)行這樣的操作直到這5個(gè)頂點(diǎn)數(shù)中至少有一個(gè)是負(fù)值。試問能否經(jīng)過有限步之后操作結(jié)束。

4. O是正n(n >= 5)邊形的中心 ，設(shè) A, B 是一對(duì)相鄰的頂點(diǎn)。設(shè)開始的時(shí)候三角形XYZ與三角形OAB重合，現(xiàn)用如下的方式移動(dòng)三角形XYZ：保持Y、Z始終在多邊形的邊界上、X在多邊形的內(nèi)部。試求出當(dāng)Y、Z都走遍多邊形的邊界時(shí)X點(diǎn)所形成的軌跡。

5. 試找出所有定義在非負(fù)實(shí)數(shù)并取值也是非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù) f，使其滿足f(2) = 0；當(dāng) 0<= x <2時(shí)f(x)不等于0；對(duì)所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。

6. 給定平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集，每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù)，問有沒有一種將這些點(diǎn)涂成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標(biāo)軸（兩個(gè)坐標(biāo)軸中的任何一個(gè)）的直線 L上的紅點(diǎn)和白點(diǎn)的個(gè)數(shù)之差不大于1？

試題詳情