1.  已知x₁ >= x₂ >= ... >= x_n, 以及y₁ >= y₂ >= ... >= y_n 都是實數(shù)，求證 若z₁ ,z₂ ,...,z_n 是y_i 的任意排列則有

∑(x_i-y_i)²   <=  ∑(x_i-z_i)²

上式中左右兩邊的求和都是i從1到n。

2.  令a₁ < a₂ < a₃ < ... 是一遞增正整數(shù)序列，求證對所有i>=1，存在無窮多個 a_n 可以寫成  a_n = ra_i + sa_j的形式，其中r，s是正實數(shù)且j > i。

3.  任意三角形ABC的邊上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求證角QRP是直角并且QR=RP。

4. 令A(yù)是將4444⁴⁴⁴⁴寫成十進制數(shù)字時的各位數(shù)字之和，令B時A的各位數(shù)字之和，求B的各位數(shù)字之和。

5.  判定并證明能否在單位圓上找到1975個點使得任意兩點間的距離為有理數(shù)。

6.  找出所有兩個變量的多項式P(x, y)使其滿足：

P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;

試題詳情

1.  三個玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個正整數(shù)，并且每張牌上的數(shù)都不相同。在每一輪游戲中都是隨機的把卡片分給這些玩家，然后每個玩家拿到所分得卡片上數(shù)目的籌碼。當(dāng)游戲進行時，玩家手上的籌碼自然是越來越多。假設(shè)游戲至少進行了兩輪以上。在最后一輪結(jié)束時，第一個玩家有籌碼20個，第二個玩家有10個，第三個玩家有9個。又已知在最后一輪游戲中第三個玩家拿到的是最大數(shù)目的籌碼。試問，在第一輪游戲中哪個玩家收到了中間數(shù)量的籌碼？

2.  三角形ABC，求證在邊AB上存在一點D使得CD是AD、DB的幾何平均值的充要條件是

sin A sin B <= sin²(C/2).

3.  試證明對任意非負整數(shù)n，下式都不能被5整除：

∑  C(2n+1,2k+1)2^3k，

上式中的求和是k從0到n，符號 C(r,s) 表示二項式系數(shù) r!/(s!(r-s)!)。

4.  沿著一個 8 x 8 象棋盤（黑白相間）中的線將其分割成p個不相交的長方形，使得每個長方形內(nèi)的黑白小方格的數(shù)目一樣，并且每個長方形中小方格的數(shù)量也都不一樣多。求出所有可能p值中的最大值；并對這樣的最大值求出所有可能的分法（即求出那些長方形的大�。�

5.  a,b,c,d是任意實數(shù)，判定下式的所有可能值：

a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。

6.  設(shè) P(x) 是一個指數(shù)d>0的整系數(shù)多項式，n是P(X)=1或-1的不同整根的個數(shù)，則有 

n <= d + 2.

試題詳情

1.  OP₁, OP₂, ... , OP_2n+1 是平面上的單位向量，其中點 P₁, P₂, ... , P_2n+1 都是位于通過點O的一條直線的同一側(cè)，求證

|OP₁ + ... + OP_2n+1| >= 1.

2.  問能否在空間中找到一個不共面的有限點集M使得，對M中的任何兩點A、B，都可以再在M中尋找到兩點C、D，而直線AB、CD是不相同的并且是互相平行的。

3.  考慮所有這樣的實數(shù)a、b使得方程

x⁴ + ax³ + bx² + ax + 1 = 0

至少有一個實根。試找出 a² + b² 的最小值。

4.  一個士兵需要在一個等邊三角形的區(qū)域內(nèi)探測有沒有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個定點出發(fā)，試問如果要完成任務(wù)且使行程最短他應(yīng)該走什么樣的路徑？

5.  G是具有下述形式且非常值的函數(shù)的集合：

f(x) = ax + b，其中a,b,x都是實數(shù)。

并且已知G具有這些性質(zhì)：

?         如果f,g都屬于G，則 fg(x) = f(g(x)) 也屬于G；

?         如果f屬于G，則 f^-1(x) = x/a - b/a 也屬于G；

?         對任何f屬于G，存在一個實數(shù) x_f 使得 f(x_f) = x_f成立。

求證：存在實數(shù) M 使得 f(M)=M對所有G中的函數(shù)f都成立。

6.  a₁, a₂, ... , a_n 是正實數(shù)，實數(shù) q 滿足0 < q < 1，試求出n格實數(shù) b₁, b₂, ... , b_n 使得：

試題詳情

1.有十個互不相同的二位數(shù)，求證必可從中選出兩個不相交的子集，使得這兩個子集中的元素之和相等。

2. 設(shè) n>4， 求證每一個圓內(nèi)接四邊形都可以分割成 n 個圓內(nèi)接四邊形。

3.  m,n是任意非負整數(shù)，求證下式是一整數(shù)。

(2m)!(2n)! 

m!n!(m+n)!

4.  試找出下述方程組的所有正實數(shù)解：

        (x₁² - x₃x₅)(x₂² - x₃x₅) <= 0
        (x₂² - x₄x₁)(x₃² - x₄x₁) <= 0
        (x₃² - x₅x₂)(x₄² - x₅x₂) <= 0
        (x₄² - x₁x₃)(x₅² - x₁x₃) <= 0
        (x₅² - x₂x₄)(x₁² - x₂x₄) <= 0

5.  f、g都是定義在實數(shù)上并取值實數(shù)的函數(shù)，并且滿足方程

f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，

又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求證對所有x同樣有 |g(x)| <= 1 。

6.  給定四個不相同的平行平面，求證存在一個正四面體，它的四個定點分別在這四個平面上。

試題詳情

1. 令 E_n = (a₁ - a₂)(a₁ - a₃) ... (a₁ - a_n) + (a₂ - a₁)(a₂ - a₃) ... (a₂ - a_n) + ... + (a_n - a₁)(a_n - a₂) ... (a_n - a_n-1). 求證  E_n >= 0 對于n=3或5成立，而對于其他自然數(shù)n>2不成立。

2.  凸多邊形 P₁ 的頂點是 A₁, A₂, ... , A₉，若將頂點 A₁ 平移至A_i 時則 P₁ 平移成了多邊形 P_i ，求證 P₁, P₂, ... , P₉ 之中至少有兩個具有一共同內(nèi)點。

3.  求證能夠找到一個由形式 2ⁿ - 3 （n是正整數(shù)）的整數(shù)構(gòu)成的集合并滿足任何兩個元素互質(zhì)。

4. 四面體ABCD的所有面都是銳角三角形，在線段AB上取一內(nèi)點X，現(xiàn)在BC上取內(nèi)點Y，CD上取內(nèi)點Z，AD上內(nèi)點T。求證：

5.  對任何自然數(shù) m ，求證存在平面上一有限點集 S，滿足：對S中的每一個點 A，存在S中的恰好 m 個點與 A的距離為單位長。

6.  設(shè) A = (a_ij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一個方陣，元素 a_ij 都是非負整數(shù)。若 i、j使得a_ij = 0，則第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求證：該方陣中所有元素之和 大于或等于n²/2。

試題詳情

1.  M 是三角形ABC的邊AB上的任何一點，r、r₁、r₂ 分別是三角形ABC、AMC、BMC的內(nèi)切圓的半徑，q 是AB外旁切圓的半徑（即與AB邊相切，與CA、CB的延長線上相切的圓），類似的， q₁、q₂分別是AC、BC外旁切圓的圓心。求證： r₁r₂q = rq₁q_2。

2.  已知0 ≤ x_i < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 x_n > 0, x_n-1 > 0。如果 a>b，x_nx_n-1...x₀ 是數(shù)A在a進制下的表示、也是B在b進制下的表示，則 x_n-1x_n-2...x₀ 表示了 A'在a進制下的表示、B'在b進制下的表示。求證：A'B<AB'。

3.  實數(shù) a₀, a₁, a₂, ...滿足 1 = a₀ <= a₁ <= a₂ <= ...，并定義

 b_n =∑(1 - a_k-1/a_k)/√a_k

其中求和是k從1到n。

4.  試找出所有的正整數(shù) n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成兩個子集合，每個子集合的元素的乘積相等。

5.  四面體ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂線的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求證：

(AB + BC + CA)² ≤ 6(AD² + BD² + CD²).

并問何時等號成立？

6.  平面上給定100個點，無三點共線，求證：這些點構(gòu)成的三角形中至多70% 是銳角三角形。

試題詳情

1.  對任意正整數(shù) n，求證有無窮多個正整數(shù) m 使得 n⁴ + m 不是質(zhì)數(shù)。

2.  令 f(x) = cos(a₁ + x) + 1/2 cos(a₂ + x) + 1/4 cos(a₃ + x) + ... + 1/2^n-1 cos(a_n + x), 其中 a_i 是實數(shù)常量，x是實數(shù)變量�，F(xiàn)已知 f(x₁) = f(x₂) = 0，求證 x₁ - x₂ 是 π 的整數(shù)倍。

3.  對每一個k = 1, 2, 3, 4, 5，試找出 a>0 應(yīng)滿足的充要條件使得存在一個四面體，其中 k個邊長均為 a，其余 6-k個邊的長度均為 1。

4. 以AB為直徑的半圓弧，C是其上不同于A、B的一點，D是C向AB作垂線的垂足。K₁ 是三角形ABC的內(nèi)切圓， 圓K₂ 與CD、DA以及半圓都相切，圓K₃ 與CD、DB及半圓相切。求證：圓K₁、 K₂ 、 K₃ 除AB外還有一條公切線。

5. 平面上已給定了 n>4個點，無三點共線。求證至少有 (n-3)(n-4)/2 個凸四邊形，其頂點都是已給點集中的點。

6.  給定實數(shù)x₁, x₂, y₁, y₂, z₁, z₂, 滿足 x₁ > 0, x₂ > 0, x₁y₁ > z₁², x₂y₂ > z₂²，求證：

8

≤

1

+

1

(x₁ + x₂)(y₁ + y₂) - (z₁ + z₂)²

x₁y₁ - z₁²

x₂y₂ - z₂²

并給出等號成立的充分必要條件。

試題詳情

1.  求證有且僅有一個三角形，它的邊長為連續(xù)整數(shù)，有一個角是另外一個角的兩倍。

2.  試找出所有的正整數(shù) n，其各位數(shù)的乘積等于 n² - 10n - 22。

3.  a, b, c 是不全為0的實數(shù)。x₁, x₂, ... , x_n 是滿足下述方程組的未知數(shù)：

     ax_i² + bx_i + c = x_i+1, 對于 i=1,2,...,n-1；

     ax_n² + bx_n + c = x_1；

若設(shè) M= (b - 1)² - 4ac ，求證：

4.  求證任何四面體上都有一個頂點使得經(jīng)過該頂點的三條邊可構(gòu)成一個三角形的三邊。

5.  令f是定義在所有實數(shù)并取值實數(shù)的函數(shù)，并且對于某個 a>0及任何 x>0 有

f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)²]

求證 f 是周期函數(shù)，并且當(dāng) a=1時請給出一個非常值函數(shù)的例子。

6.  對任何自然數(shù) n，試計算下式的值

[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2^k)/2^k+1] + ...

其中[x]表示不超過 x 的最大整數(shù)。

試題詳情

2005 International Mathematical Olympiad

第一天(4.5小時)

1. 等邊三角形ABC各邊上的六個點A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)構(gòu)成六邊長相等的凸六邊形A1A2B1B2C1C2.
求證:三條直線A1B2,B1C2,C1A2交于一點.

2. 整數(shù)數(shù)列a1,a2,……中有無窮多個正項及無窮多個負項.已知,對每個正整數(shù)n,數(shù)a1,a2,…,an除以n所得到的余數(shù)互不相同.
證明:每個整數(shù)在數(shù)列a1,a2,……中都出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次.

3. x,y,z為正數(shù)且xyz≥1.求證:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.

第二天(4.5小時)
4.試求與無窮數(shù)列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切項均互素的所有正整數(shù).

5.取定凸四邊形ABCD,其中BC=DA,BC與DA不平行.動點E,F分別在線段BC,DA上且滿足BE=DF.直線AC與BD交于P, BD與EF交于Q, EF與AC交于R.求證:當(dāng)E,F變動時,所有三角形PQR的外接圓周除了P外還有一個公共點.

6.一次數(shù)學(xué)競賽共給出6道題.已知,每兩題均被多于2/5的選手同時解出,但無一人解出所有6道題.證明:至少有兩人各解出5道題.

試題詳情

2004IMO(中文版)

1. △ABC 為銳角三角形，AB ≠ AC；以BC為直徑的圓分別交AB和AC于M 和N . 記BC中點為

O. ∠BAC和∠MON的角平分線交于R. 求證△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個公共點在

BC邊上.

2. 求所有的實系數(shù)多項式f，使得對所有滿足 ab + bc + ca = 0的實數(shù)a, b, c 有

f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).

3. 定義一個由6個單位正方形構(gòu)成的“鉤”（圖傳不上：3 X 3 的去掉中心塊和一邊上連

續(xù)的兩塊，包括由此圖經(jīng)旋轉(zhuǎn)、反射得到的圖形）. 定出所有的能被鉤覆蓋的m×n的矩形

.

4. 設(shè)n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 滿足

n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)

證明t_1, t_2, ..., t_n中隨便取3個數(shù)都能構(gòu)成一個三角

5. 凸四邊形ABCD的對角線BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD內(nèi)一點P滿足∠PBC = ∠DBA和∠

PDC = ∠BDA. 求證：ABCD是圓的內(nèi)接四邊形當(dāng)且僅當(dāng)AP = CP.

6. 稱一個正整數(shù)為“交替的”，如果它的十進表示的任兩個連續(xù)數(shù)位的奇偶性不同. 求所

有的正整數(shù)n，n的某個倍數(shù)是交替的.

試題詳情