初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第5講 一次方程（組）及應(yīng)用

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

掌握一元一次方程的解法步驟

例1  解方程：x-

  【點(diǎn)評(píng)】按去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1，五步進(jìn)行

掌握二元一次方程組的解法

例2  （2006年棗莊市）已知方程組的解為，求2a-3b的值．

  【點(diǎn)評(píng)】將代入原方程組后利用加減法解關(guān)于a，b的方程組．

一次方程的應(yīng)用

例3 （2006年吉林省）據(jù)某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在我國(guó)的664座城市中，按水資源情況可分為三類(lèi)：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市，其中，暫不缺水城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城市數(shù)的4倍少50座，一般缺水城市是嚴(yán)重缺水城市數(shù)的2倍，求嚴(yán)重缺水城市有多少座？

  【點(diǎn)評(píng)】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．若代數(shù)式3a⁴b^2x與0.2a⁴b^3x-1能合并成一項(xiàng)，則x的值是（  ）

A．         B．1        C．        D．0

2．如果2005-200.5=x-20.05，那么x等于（  ）

    A．1814.55     B．1824.55     C．1774.45    D．1784.45

3．（2006年鹽城市）已知x=1是一元二次方程x²-2mx+1=0的一個(gè)解，則m的值是（  ）

A．1       B．0        C．0或1      D．0或-1

4．（2006年青島市）某商店的老板銷(xiāo)售一種商品，他要以不低于進(jìn)價(jià)20%的價(jià)格才能出售，但為了獲得更多利潤(rùn)，他以高出進(jìn)價(jià)80%的價(jià)格標(biāo)價(jià)，若你想買(mǎi)下標(biāo)價(jià)為360元的這種商品，最多降低多少元，商店老板才能出售（  ）

A．80元    B．100元    C．120元    D．160元

5．若方程組，那么a，b的值是（  ）

A．a(chǎn)=2，b=1     B．a(chǎn)=1，b=0    C．a(chǎn)=1，b=1     D．a(chǎn)=0，b=0

6．足球比賽的計(jì)分規(guī)則為：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．某隊(duì)打了14場(chǎng)，負(fù)5場(chǎng)，共得19分，那么這個(gè)隊(duì)勝了（  ）

A．4場(chǎng)     B．5場(chǎng)     C．6場(chǎng)    D．13場(chǎng)

7．（2006年隨州市）“雞兔同籠”是我國(guó)民間流傳的詩(shī)歌形式的數(shù)學(xué)題，“雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看來(lái)腳有100只，幾多雞兒幾多兔？”解決此問(wèn)題，設(shè)雞為x只，兔為y只，所列方程組正確的是（  ）

A． 

8．（2006年重慶市）如圖，已知函數(shù)y=ax+b和y=kx的圖象交于點(diǎn)P，則根據(jù)圖像可得，關(guān)于的二元一次方程組的解是（  ）

A．

9．把一張面值50元的人民幣換成10元、5元的人民幣，共有_____種換法．

【能力提升】

10．解方程：

（1）

11．解方程：

（1）（2006年重慶市）；（2）（2005年朝陽(yáng)區(qū)）

12．（2006年泰州市）揚(yáng)子江藥業(yè)集團(tuán)生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示．如果長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)比寬多4cm，求這種藥品包裝盒的體積．

13．（2006年重慶市）農(nóng)科所向農(nóng)民推薦渝江Ⅰ號(hào)和渝江Ⅱ號(hào)兩種新型良種稻谷．在田間管理和土質(zhì)相同的條件下，Ⅱ號(hào)稻谷單位面積的產(chǎn)量比Ⅰ號(hào)稻谷低20%，但Ⅱ號(hào)稻谷的米質(zhì)好，價(jià)格比Ⅰ號(hào)高，已知Ⅰ號(hào)稻谷國(guó)家的收購(gòu)價(jià)是1.6元/千克．

    （1）當(dāng)Ⅱ號(hào)稻谷的國(guó)家收購(gòu)價(jià)是多少時(shí)，在田間管理、土質(zhì)和面積相同的兩塊田里分別種植Ⅰ號(hào)、Ⅱ號(hào)稻谷的收益相同？

    （2）去年小王在土質(zhì)、面積相同的兩塊田里分別種植Ⅰ號(hào)、Ⅱ號(hào)稻谷，且進(jìn)行了相同的田間管理．收獲后，小王把稻谷全部賣(mài)給國(guó)家．賣(mài)給國(guó)家時(shí)，Ⅱ號(hào)稻谷的收購(gòu)價(jià)定為2.2元/千克，Ⅰ號(hào)稻谷國(guó)家的收購(gòu)價(jià)未變，這樣小王賣(mài)Ⅱ號(hào)稻谷比賣(mài)Ⅰ號(hào)稻谷多收入1040元，那么小王去年賣(mài)給國(guó)家的稻谷共有多少千克？

14．某酒店客房部有三人間，雙人間客房，收費(fèi)數(shù)據(jù)如下表：

普通（元/間/天）

豪華（元/間/天）

三人間

     150

     300

雙人間

     140

     400

為吸引游客，實(shí)行團(tuán)體入住五折優(yōu)惠措施，一個(gè)50人的旅游團(tuán)優(yōu)惠期間到該酒店入住，住了一些三人普通間和雙人普通間客房．若每間客房正好住滿，且一天共花去住宿費(fèi)1510元，則旅游團(tuán)住了三人普通間和雙人普通間客房各多少間？

【應(yīng)用與探索】

15．（2005年岳陽(yáng)市）某體育彩票經(jīng)售商計(jì)劃用45000元從省體彩中心購(gòu)進(jìn)彩票20扎，每扎1000張，已知體彩中心有A，B，C三種不同價(jià)格的彩費(fèi)，進(jìn)價(jià)分別是A種彩票每張1.5元，B種彩票每張2元，C種彩票每張2.5元．

    （1）若經(jīng)銷(xiāo)商同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的彩票20扎，用去45000元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案；

    （2）若銷(xiāo)售A型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.2元，B型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.3元，C型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.5元．在購(gòu)進(jìn)兩種彩票的方案中，為使銷(xiāo)售完時(shí)獲得手續(xù)費(fèi)最多，你選擇哪種進(jìn)票方案？

    （3）若經(jīng)銷(xiāo)商準(zhǔn)備用45000元同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B，C三種彩票20扎，請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案．

答案：

例題經(jīng)典 

例1：x=1  例2：2a-3b=6  例3：102座

考點(diǎn)精練 

1．B  2．B  3．A  4．C  5．B  6．B  7．B  8．C 

9．六種  10．（1）  （2）x=5 

11．（1）

=2（元） 

（2）設(shè)賣(mài)給國(guó)家的Ⅰ號(hào)稻谷x千克，則x（1-20%）×2.2=1.6x+1040，解得x=6500，

所以x+（1-20%）x=1.8x=11700（千克），答：略 

14．三人間8間，兩人間13間 

15．解：可設(shè)經(jīng)銷(xiāo)商從體彩中心購(gòu)進(jìn)A種彩票x張，B種彩票y張，C種彩票z張，

則可分以下三種情況考慮：

（1）只購(gòu)進(jìn)A種彩票和B種彩票，依題意可列方程組

解得x<0，所以無(wú)解．只購(gòu)進(jìn)A種彩票和C種彩票，

依題意可列方程組，

只購(gòu)進(jìn)B種彩票和C種彩票，依題可列方程組，綜上所述，若經(jīng)銷(xiāo)商同時(shí)購(gòu)進(jìn)不同型號(hào)的彩票，共有兩種方案可行，即A種彩票5扎，C種彩票15扎或B種彩票與C種彩票各10扎．

（2）若購(gòu)進(jìn)A種彩票5扎，C種彩票15扎，銷(xiāo)售完后獲手續(xù)費(fèi)為0.2×5000+0.5×15000=8500（元）；若購(gòu)進(jìn)B種彩票與C種彩票各10扎，銷(xiāo)售完后獲手續(xù)費(fèi)為0.3×10000+0.5×10000=8000（元），∴為使銷(xiāo)售完時(shí)獲得手續(xù)費(fèi)最多，選擇的進(jìn)票方案為A種彩票5扎，C種彩票15扎．

（3）若經(jīng)銷(xiāo)商準(zhǔn)備用45000元同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B，C三種彩票20扎．設(shè)購(gòu)進(jìn)A種彩票x扎，B種彩票y扎，C種彩票z扎，

則

∴1≤x<5，

又∵x為正整數(shù)，共有4種進(jìn)票方案，即A種1扎，B種8扎，C種11扎，或A種2扎，B種6扎，C種12扎，或A種3扎，B種4扎，C種13扎，或A種4扎，B種2扎，C種14扎．

試題詳情

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第四講 數(shù)的開(kāi)方與二次根式

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

理解二次根式的概念和性質(zhì)

例1 （1）（2006年南通市）式子有意義的x取值范圍是________．

    【點(diǎn)評(píng)】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)．

   （2）已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)．

    【點(diǎn)評(píng)】要注意挖掘其隱含條件：a<0．

掌握最簡(jiǎn)二次根式的條件和同類(lèi)二次根式的判斷方法

例2（2006年海淀區(qū)）下列根式中能與合并的二次根式為（  ）

      A．

   【點(diǎn)評(píng)】抓住最簡(jiǎn)二次根式的條件，結(jié)合同類(lèi)二次根式的概念去解決問(wèn)題．

掌握二次根式化簡(jiǎn)求值的方法要領(lǐng)

例3 （2006年長(zhǎng)沙市）先化簡(jiǎn)，再求值:

     若a=4+，b=4-，求．

   【點(diǎn)評(píng)】注意對(duì)求值式子進(jìn)行變形化簡(jiǎn)約分，再對(duì)已知條件變形整體代入．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．的平方根為_(kāi)______，-的立方根為_(kāi)______．

2．當(dāng)x_______時(shí)，式子+有意義；當(dāng)x________時(shí)，式子+x無(wú)意義．

3．（2006年大連市）計(jì)算=_________．

4．（2005年上海市）計(jì)算-（+2）=_________．

5．（2006年煙臺(tái)市）若x+=5，則-=______．

6．下列敘述中正確的是（  ）

    A．正數(shù)的平方根不可能是負(fù)數(shù)    B．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)

    C．實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)    D．帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)

7．（2005年福州市）下列各式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（  ）

A．

8．（2006年恩施自治州）若4可以合并，則m的值為（  ）

A．

9．（2006年連云港市）能使等式成立的x的取值范圍是（  ）

A．x≠2    B．x≥0    C．x>2     D．x≥2

10．（2005年長(zhǎng)沙市）小明的作業(yè)本上有以下四題：①=4a；②a；③a；④（a≠0），做錯(cuò)的題是（  ）

A．①     B．②     C．③    D．④

11．對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，若=b-a，則（  ）

A．a(chǎn)>b      B．a(chǎn)<b     C．a(chǎn)≥b     D．a(chǎn)≤b

12．計(jì)算．

【能力提升】

13．（1）若0<x<1，則=_________．

（2）若=x-4+6-x=2，則x的取值范圍為_(kāi)_________．

14．（1）（2005年廣州市）用計(jì)算器計(jì)算，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷P=（n為大于1的整數(shù)）的值的大小關(guān)系為（  ）

      A．P<Q      B．P=Q    C．P>Q     D．與n的取值有關(guān)

  （2）甲、乙兩同學(xué)對(duì)代數(shù)式（a>0，b>0）分別作如下的變形：

       甲：=;

       乙：=.

    這兩種變形過(guò)程的下列說(shuō)法中，正確的是（  ）

      A．甲、乙都正確             B．甲、乙都不正確

      C．只有甲正確               D．只有乙正確

  （3）（2006年桂林市）觀察下列分母有理化的計(jì)算:

  ……，

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律利用規(guī)律計(jì)算:

（+1）=_________．

15．化簡(jiǎn)式計(jì)算:

（1）（2006年錦州市）計(jì)算：.

（2）（2005年山東�。┮阎獂=2-，y=2+，

求的值．

【應(yīng)用與探究】

16．（2006年內(nèi)江市）對(duì)于題目“化簡(jiǎn)求值：+，其中a=”甲、乙兩人的解答不同．

甲的解答是：+=+；

乙的解答是：+=+，

誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的是，為什么？

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）x<2  （2）（1-a） 

例2：B 

例3：，值為

考點(diǎn)精練 

1．±2  -  2．x≥-且x≠0，x≤2  3．2a  4．-2 

5．±  6．C  7．A  8．D 9．C  10．D  11．D 

12．-  13．（1）  （2）4≤x≤6 

14．（1）A  （2）D  （3）2006 

15．①-  ②2，值為2 

16．乙解答是錯(cuò)誤的，

∵a=，

∴│-a│=-a，而不是a-．

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第三講 因式分解與分式

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

掌握因式分解的概念及方法

例1  分解因式：

    ①x³-x²=_______________________;

    ②（2006年綿陽(yáng)市）x²-81=______________________;

    ③（2005年泉州市）x²+2x+1=___________________;

    ④a²-a+=_________________;

    ⑤（2006年湖州市）a³-2a²+a=_____________________.

    【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來(lái)解答即可.

熟練掌握分式的概念：性質(zhì)及運(yùn)算

例2  （1）若分式的值是零，則x=______．

    【點(diǎn)評(píng)】分式值為0的條件是：有意義且分子為0．

    （2）同時(shí)使分式有意義，又使分式無(wú)意義的x的取值范圍是（  ）

      A．x≠-4且x≠-2                B．x=-4或x=2

      C．x=-4                         D．x=2

    （3）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（  ）

      A．?dāng)U大10倍    B．縮小10倍    C．不變    D．?dāng)U大2倍

因式分解與分式化簡(jiǎn)綜合應(yīng)用

例3 （2006年常德市）先化簡(jiǎn)代數(shù)式：，然后選取一個(gè)使原式有意義的x的值代入求值．

  【點(diǎn)評(píng)】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無(wú)意義．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．（2006年嘉興市）一次課堂練習(xí)，小敏同學(xué)做了如下4道因式分解題，你認(rèn)為做得不夠完整的一題是（  ）

    A．x³-x=x（x²-1）               B．x²-2xy+y²=（x-y）²

C．x²y-xy²=xy（x-y）            D．x²-y²=（x-y）（x+y）

2．下列各式能分解因式的個(gè)數(shù)是（  ）

    ①x²-3xy+9y²     ②x²-y²-2xy     ③-a²-b²-2ab

    ④-x²-16y²       ⑤-a²+9b²       ⑥4x²-2xy+y²

A．5個(gè)       B．4個(gè)        C．3個(gè)       D．2個(gè)

3．（2006年諸暨市）如果從一卷粗細(xì)均勻的電線上截取1米長(zhǎng)的電線，稱得它的質(zhì)量為a克，再稱得剩余質(zhì)量為b克，那么原來(lái)這卷電線的總長(zhǎng)度是（  ）

A．米     B．（+1）米    C．（+1）米     D．（+1）米

4．若x-=7，則x²+的值是（  ）

A．49      B．48     C．47      D．51

5.（2006年黃岡市）計(jì)算:的結(jié)果為（  ）

A．1      B．

6．已知兩個(gè)分式：A=，其中x≠±2，則A與B的關(guān)系是（  ）

A．相等     B．互為倒數(shù)    C．互為相反數(shù)   D．A大于B

7．將a³-a分解因式，結(jié)果為_(kāi)_______．

8．分解因式2x²+4x+2=________________．

9．（2006年鹽城市）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是________．

10．化簡(jiǎn)：?（x²-9）.

【能力提升】

11．分解因式：

（1）（2006年成都市）a³+ab²-2a²b;

  （2）（2006年懷化市）已知a=2006x+2007，b=2006x+2006，c=2006x+2005．

求2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac的值．

12．化簡(jiǎn)：.

13．（2006年莆田市）化簡(jiǎn)求值：，其中a=．

14．（2006年長(zhǎng)沙市）先化簡(jiǎn)再求值：，其中a滿足a²-a=0．

15．（2006年揚(yáng)州市）先化簡(jiǎn)（1+，然后請(qǐng)你給a選取一個(gè)合適的值，代入求值．

【應(yīng)用與探究】

16．（2005年紹興市）已知P=，Q=（x+y）²-2y（x+y），小敏、小聰兩人在x=2-y=-1的條件下分別計(jì)算了P和Q的值．小敏說(shuō)P的值比Q大，小聰說(shuō)Q的值比P大．請(qǐng)你判斷誰(shuí)的結(jié)論正確，并說(shuō)明理由．

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）x²（x-1）  （2）（x+9）（x-9） 

（3）（x+1）²   （4）（a-）²  （5）a（a-1）² 

例2：（1）x=  （2）D  （3）C 

例3：化簡(jiǎn)結(jié)果為x²+1

考點(diǎn)精練 

1．A  2．C  3．B  4．D  5．A  6．C 

7．a(chǎn)（a+1）（a-1）  8．2（x+1）²  9．x≠1的全體實(shí)數(shù) 

10．x+3  11．（1）a（a-b）²  （2）（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=6 

12．-=  

14．a(chǎn)²-a-2=-2 

15．化簡(jiǎn)結(jié)果a+2，a不能取值±2 

16．解：∵P===x+y，

∴當(dāng)x=2，y=-1時(shí)，P=1，∴當(dāng)Q=（x+y）²-2y（x+y）=x²-y²，

∴當(dāng)x=2，y=-1時(shí)，Q=3，∴P<Q，∴小聰?shù)慕Y(jié)論正確．

試題詳情

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第二講 整式

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

冪的運(yùn)算性質(zhì)

例1（1）a^m?aⁿ=_______（m，n都是正整數(shù)）；

    （2）a^m÷aⁿ=________（a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m>n），特別地：a⁰=1（a≠0），a^-p=（a≠0，p是正整數(shù)）；

    （3）（a^m）ⁿ=______（m，n都是正整數(shù)）；

    （4）（ab）ⁿ=________（n是正整數(shù)）

    （5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________．

    （6）完全平方公式：（a±b）²=__________．

    【點(diǎn)評(píng)】能夠熟練掌握公式進(jìn)行運(yùn)算.

同類(lèi)項(xiàng)的概念

例2  若單項(xiàng)式2a^m+2nb^n-2m+2與a⁵b⁷是同類(lèi)項(xiàng)，求n^m的值．

    【點(diǎn)評(píng)】考查同類(lèi)項(xiàng)的概念，由同類(lèi)項(xiàng)定義可得 解出即可

整式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算

例3  （2006年江蘇�。┫然�簡(jiǎn)，再求值：

    [（x-y）²+（x+y）（x-y）]÷2x其中x=3，y=-1．5．

    【點(diǎn)評(píng)】本例題主要考查整式的綜合運(yùn)算，學(xué)生認(rèn)真分析題目中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用公式，才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便準(zhǔn)確．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．下列運(yùn)算正確的是（  ）

A．a(chǎn)⁵?a³=a¹⁵     B．a(chǎn)⁵-a³=a²     C．（-a⁵）²=a¹⁰     D．a(chǎn)⁶÷a³=a²

2．（2006年黃岡市）下列運(yùn)算正確的是（  ）

    A．2x⁵-3x³=-x²                B．2+2=2

C．（-x）⁵?（-x²）=-x¹⁰      D.（3a⁶x³-9ax⁵）÷（-3ax³）=3x²-a⁵

3．隨著新農(nóng)村建設(shè)的進(jìn)一步加快，湖州市農(nóng)村居民人均純收入增長(zhǎng)迅速．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2005年本市農(nóng)村居民純收入比上一年增長(zhǎng)14.2%，若2004年湖州市農(nóng)村居民純收入為a元，則2005年農(nóng)村居民人均純收入可表示為（  ）

A．14.2a元   B．1.42a元   C．1.142a元   D．0.142a元

4．（2006年成都市）已知代數(shù)式x^a-1y³與-3x^-by^2a+b是同類(lèi)項(xiàng)，那么a、b的值分別是（  ）

A．

5．從邊長(zhǎng)為a的正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖1），然后將剩余部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖2），上述操作所能驗(yàn)證的等式是（  ）

    A．a(chǎn)²-b²=（a+b）（a-b）         B.（a-b）²=a²-2ab+b²

C.（a+b）²=a²+2ab+b²            D．a(chǎn)²+ab=a（a+b）

6．全國(guó)中小學(xué)危房改造工程實(shí)施五年來(lái)，已改造農(nóng)村中小學(xué)危房7800萬(wàn)平方米，如果按一幢教學(xué)樓的總面積是750平方米計(jì)算，那么該項(xiàng)改造工程共修建教學(xué)樓大約有（  ）

A．10幢     B．10萬(wàn)幢     C．20萬(wàn)幢    D．100萬(wàn)幢

7．已知x-y=2，則x²-2xy+y²=_________．

8．（2005年蘭州市）某公司成立3年以來(lái)，積極向國(guó)家上繳利稅，由第一年的200萬(wàn)元，增長(zhǎng)到800萬(wàn)元，則平均每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是_________．

9．將連續(xù)的自然數(shù)1至36按右圖的方式排成一個(gè)正方形陣列，用一個(gè)小正方形任意圈出其中的9個(gè)數(shù)，設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為a，用含有a的代數(shù)式表示這9個(gè)數(shù)的和為_(kāi)_________．

10．用火柴棒按下圖中的方式搭圖形．

    （1）按圖示規(guī)律填空：

（2）按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要_________根火柴棒．

【能力提升】

11．2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長(zhǎng)直角邊為b，那么（a+b）²的值為（  ）

A．13     B．19     C．25     D．169

12．先化簡(jiǎn)，再求值:5x²-（3y²+5x²）+（4y²+7xy）,其中x=-1，y=1-．

13．（2006年常德市）右邊是一個(gè)有規(guī)律排列的數(shù)表，請(qǐng)用含n的代數(shù)式（n為正整數(shù)），表示數(shù)表中第n行第n列的數(shù)：______________．

14．（2005年廣東�。┤鐖D，某長(zhǎng)方形廣場(chǎng)的四角都有一塊半徑相同的四分之一圓形的草地，若圓形的半徑為r米，長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a米，寬為b米．

    （1）請(qǐng)用代數(shù)式表示空地的面積．

（2）若長(zhǎng)方形長(zhǎng)為300米，寬為200米，圓形的半徑為10米，求廣場(chǎng)空地的面積（結(jié)果保留準(zhǔn)確值）．

【應(yīng)用與探究】

15．（2006年泉州市）某校的一間階梯教室，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開(kāi)始，第一排都比前一排增加b個(gè)座位．

    （1）請(qǐng)你在下表的空格里填寫(xiě)一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：

第1排的

 座位數(shù)

第2排的

 座位數(shù)

第3排的

 座位數(shù)

第4排的

 座位數(shù)

   a

  a+b

  a+2b

    （2）已知第4排有18個(gè)座位，第15排座位數(shù)是第5排座位數(shù)的2倍，求第21排有多少個(gè)座位？

答案:

例題經(jīng)典 

例1：（1）a^m+n  （2）a^m-n  （3）a^mn  

（4）aⁿbⁿ  （5）a²-b²  （6）a²±2ab+b²  

例2：先求出n=3，m=-1則n^m= 

例3：x-y=4.5

考點(diǎn)精練：

1．C  2．D  3．C  4．A  5．A  6．B 

7．4  8．100%  9．9a 

10．（1）

（1）

（2）

（3）

 5

  9

 13

（4）4n+1  11．C  12．5-4 

13．n²-（n-1） 

14.（1）（ab-r²）米² 

（2）（60000-100）米²  

15.（1）a+3b  （2）52個(gè).

試題詳情

第三節(jié)  梯形

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

與梯形有關(guān)的計(jì)算

例1．（2005年海南�。┤鐖D，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC的長(zhǎng)．

    【分析】在梯形中常通過(guò)作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要的條件．

等腰梯形的判定

例2．（2005年南通市）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD于F，過(guò)點(diǎn)F作EF∥AB，交AD于點(diǎn)E，CF=4cm．

    （1）求證：四邊形ABFE為等腰梯形；

（2）求AE的長(zhǎng)．

    【分析】采用“階梯”方法解決（1），先說(shuō)明四邊形ABFE為梯形，再說(shuō)明AE=BF，作DG⊥AB于G，利用CD=AB解決AE=BF．（2）問(wèn)要利用Rt△BCF∽R(shí)t△ABF，求出AF長(zhǎng)，再用BF²=CF?AF，即可求出BF長(zhǎng)，進(jìn)而得到AE長(zhǎng)．

梯形性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3．（2006年河南省）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E為底邊BC的中點(diǎn)，且DE∥AB，試判斷△ADE的形狀，并給出證明．

   【解析】△ADE是等邊三角形．

    理由如下：∵AB=CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，

    ∵∠B=∠C．

    ∴E為BC的中點(diǎn)，

    ∵BE=CE．

    在△ABE和△DCE中，

    ∵

    ∴△ABE≌△DCE．

    ∵AE=DE．

    ∴AD∥BC，DE∥AB，

    ∴四邊形ABCD為平行四邊形．

    ∴AB=DE

    ∵AB=AD，

    ∴AD=AE=DE．

    ∴△ADE為等邊三角形．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

第二節(jié)  矩形、菱形、正方形

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

會(huì)用“階梯型”思路判定特殊平行四邊形

例1．（2005年黃岡市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)E，又點(diǎn)F在DE的延長(zhǎng)線上，且AF=CE．求證：四邊形ACEF為菱形．

    【分析】欲證四邊形ACEF為菱形，可先證四邊形ACEF為平行四邊形，然后再證ACEF為菱形，當(dāng)然，也可證四條邊相等，直接證四邊形為菱形．

矩形、菱形的綜合應(yīng)用

例2．（2006年青島市）如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長(zhǎng)線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

    【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

    ∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD．

    ∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

    ∴AE=AB，CF=CD．

    ∴AE=CF．

    ∴△ADE≌△CBF．

    （2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形AGBD是矩形．

    ∵四邊形ABCD是平行四邊形，

    ∴AD∥BC．

    ∵AG∥BD，

    ∴四邊形AGBD是平行四邊形．

    ∵四邊形BEDF是菱形，

    ∴DE=BE．

    ∵AE=BE，

    ∴AE=BE=DE．

    ∴∠1=∠2，∠3=∠4．

    ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

    ∴2∠2+2∠3=180°．

    ∴∠2+∠3=90°．

    即∠ADB=90°，

    ∴四邊形AGBD是矩形．

會(huì)解決與特殊平行四邊形有關(guān)的動(dòng)手操作問(wèn)題

例3．（2005年吉林省）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折疊后，點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)D落在點(diǎn)Q處，AD與PQ相交于點(diǎn)H，∠BPE=30°．

  （1）求BE、QF的長(zhǎng)．（2）求四邊形PEFH的面積．

    【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點(diǎn)，要想解好此類(lèi)題，考生必須有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時(shí)需要考生剪一個(gè)四邊形實(shí)際折疊一下幫助理解．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

第四節(jié) 直角三角形

【回顧與思考】

    直角三角形

【例題經(jīng)典】

直角三角形兩銳角互余

例1．如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯（即BC=EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則∠ABC+∠DFE=______．

    【分析】∠ABC與∠DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，若說(shuō)明這兩個(gè)直角三角形全等則問(wèn)題便會(huì)迎刃而解．

【解答】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，

∴∠ABC+∠DFE=90°，因此填90°．

    【點(diǎn)評(píng)】此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來(lái)識(shí)別兩個(gè)直角三角形全等，并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題．

特殊直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用

例2．（2006年包頭市）《中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例》規(guī)定：“小汽車(chē)在城市街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)”．一輛小汽車(chē)在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車(chē)速檢測(cè)儀O”，測(cè)得該車(chē)從北偏西60°的A點(diǎn)行駛到北偏西30°的B點(diǎn)，所用時(shí)間為1．5秒．

  （1）試求該車(chē)從A點(diǎn)到B的平均速度；（2）試說(shuō)明該車(chē)是否超過(guò)限速．

【解析】（1）要求該車(chē)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度．只需求出AB的距離，

在△OAC中，OC=25米．∵∠OAC=90°-60°=30°，∴OA=2CO=50米

    由勾股定理得CA==25（米）

    在△OBC中,∠BOC=30°

    ∴BC=OB.

    ∴（2BC）²=BC²+25²

    ∴BC=（米）

    ∴AB=AC-BC=25-=（米）

    ∴從A到B的速度為÷1.5=（米/秒）

    （2）米/秒≈69.3千米/時(shí)

    ∵69.3千米/時(shí)<70千米/時(shí)

    ∴該車(chē)沒(méi)有超過(guò)限速．

    【點(diǎn)評(píng)】此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對(duì)的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用．

勾股定理的逆定理的應(yīng)用

例3．如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；②連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC．請(qǐng)你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫(huà)出一個(gè)直角三角形，并使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等．

    簡(jiǎn)析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

第五章  四邊形

第一節(jié)  多邊形與平行四邊形

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

利用平行四邊形的性質(zhì)求面積

例1．（2006年河南�。┤鐖D，在ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：S_△ABF=S_ABCD．

    【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC．

    ∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE=CE．

    ∴△AED≌△FEC．

    ∴S_△AED =S_△FEC．

    ∴S_△ABF =S_{四邊形ABCE}+S_△CEF =S_{四邊形ABCE}+S_△AED =S_ABCD

會(huì)根據(jù)條件選擇適當(dāng)方法判定平行四邊形

例2．（2005年山東�。┤鐖D，在ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，當(dāng)E、F滿足下列哪個(gè)條件時(shí)，四邊形DEBF不一定是平行四邊形（  ）

A．OE=OF     B．DE=BF     C．∠ADE=∠CBF    D．∠ABE=∠CDF

    【分析】雖然判別平行四邊形可從“邊、角、對(duì)角線”三個(gè)角度來(lái)考慮，但此例圖中已有對(duì)角線，所以最適當(dāng)方法應(yīng)是“對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形”．

能利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算

例3．（2005年西寧市）如圖，在ABCD中，已知對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)為15，AB=6，那么對(duì)角線AC+BD=_______．

    【分析】本例解題依據(jù)是：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，先求出AO+BO=9，再求得AC+BD=18．

【考點(diǎn)精練】

試題詳情

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)案

第一講  實(shí)數(shù)

【回顧與思考】

【例題經(jīng)典】

理解實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

例1 ①a的相反數(shù)是-,則a的倒數(shù)是_______．

②實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:

      則化簡(jiǎn)│b-a│+=______．

③（2006年泉州市）去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學(xué)記數(shù)法表示為約______________________．

【點(diǎn)評(píng)】本大題旨在通過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的填空，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)實(shí)數(shù)有關(guān)概念的理解．

掌握實(shí)數(shù)的分類(lèi)

例2  下列實(shí)數(shù)、sin60°、、（）⁰、3.14159、-、（-）^-2、中無(wú)理數(shù)有（  ）個(gè)

     A．1      B．2        C．3       D．4

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)不能只看表面形式，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)結(jié)果去判斷．

快速準(zhǔn)確地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算

例3 （2006年成都市）計(jì)算：-+（-2）²×（-1）⁰-│-│．

    【點(diǎn)評(píng)】按照運(yùn)算順序進(jìn)行乘方與開(kāi)方運(yùn)算。

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．下列語(yǔ)句：①無(wú)理數(shù)的相反數(shù)是無(wú)理數(shù)；②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)；③有理數(shù)比無(wú)理數(shù)��；④無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，其中正確的是（  ）

A．①②③    B．②③④    C．①②④    D．②④

2．（2005年長(zhǎng)沙市）已知a、b兩數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,下列結(jié)論正確的是（  ）

A．a(chǎn)>b     B．a(chǎn)b<0     C．b-a>0     D．a(chǎn)+b>0

3．（2006年蕪湖市）三峽工程是世界防洪效益最為顯著的水利工程,它能有效控制長(zhǎng)江上游洪水，增強(qiáng)長(zhǎng)江中下游抗洪能力,據(jù)相關(guān)報(bào)道三峽水庫(kù)的防洪庫(kù)容22150000000m³，用科學(xué)計(jì)數(shù)法可記作（  ）

    A．221.5×10⁸m³        B．22.15×10⁹m³

C．2.215×10¹⁰m³       D．2215×10⁷m³

4．9的相反數(shù)的倒數(shù)是（  ）

A．-9      B．       C．9       D．-

5．（2005年武漢市）如圖，一電線桿AB的高為10米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為60度時(shí)，其影長(zhǎng)AC約為（取1.732，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）

A．5.00米     B．8.66米     C．17.3米     D．5.77米

6．（2006年常德市）下列計(jì)算正確的是（  ）

A．=±4     B．3-2=1    C．24÷=4    D．?=2

7．（2006年南通市）一個(gè)籃球需要m元，買(mǎi)一個(gè)排球需要n元，則買(mǎi)3個(gè)籃球和5個(gè)排球共需要_________元．

8．（2006湖州市）青蛙在如圖8×8的正方形（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）網(wǎng)格的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上跳躍，青蛙每次所跳的最遠(yuǎn)距離為，青蛙從點(diǎn)A開(kāi)始連續(xù)跳六次正好跳回到點(diǎn)A，則所構(gòu)成的封閉圖形的面積的最大值是________．

9．圖中是一幅“蘋(píng)果圖”，第一行有1個(gè)蘋(píng)果，第二行有2個(gè)，第三行有4個(gè)，第四行有8個(gè)，……你是否發(fā)現(xiàn)蘋(píng)果的排列規(guī)律？猜猜看，第十行有______個(gè)蘋(píng)果．

【能力提升】

10．計(jì)算：│-12│÷（-+--）;

11．若a、b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為2，求a²-b²+（cd）^-1÷（1-2m+m²）的值．

12．?dāng)?shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示: 化簡(jiǎn).

13．（2006年臨安市）已知：2+=2²×，3+=3²×，4+

，…，若10+=10²×符合前面式子的規(guī)律，則a+b=________．

14．（2006年江陰市）將正偶數(shù)按下表排列：

           第1列  第2列  第3列  第4列

    第1列    2

    第2列    4      6

    第3列    8     10      12

    第4列   14     16      18     20

    ……

根據(jù)上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是________．

應(yīng)用與探究

15．（2005年遼寧�。┰跀�(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求+的值（結(jié)果用n表示）,設(shè)計(jì)如圖（1）所示的幾何圖形．

    （1）請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求+ 的值為_(kāi)______．

    （2）請(qǐng)你利用圖（2）再設(shè)計(jì)一個(gè)能求+的值的幾何圖形．

                                        (1)                        (2)

【答案】

例題經(jīng)典  例1：（1）5  （2）2a-2b  （3）1.02×10⁷  例2：C  例3：1-2

考點(diǎn)精練  1．C  2．A  3．C  4．D  5．D  6．D  7．3m+5n  8．10  9．2⁹（512）  10．-  11．1或  12．-b  13．109  14．第45行第13列 

15．（1）1-

    (2)

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第三節(jié) 等腰三角形

【回顧與思考】

    等腰三角形

【例題經(jīng)典】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD與CE相交于點(diǎn)O，如圖，∠BOC的大小與∠A的大小有什么關(guān)系？

    若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？

若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？

【分析】在上述條件由特殊到一般的變化過(guò)程中，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時(shí)，∠BOC=90°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時(shí)，∠BOC=120°+∠A；

∠1=∠ABC，∠2=∠ACB時(shí)，∠BOC=?180°+∠A．

    【點(diǎn)評(píng)】在例1圖中，若AE=AB，AD=AC．類(lèi)似上題方法同樣可證得BD=CE．上述規(guī)律仍然存在．

會(huì)用等腰三角形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明

例2．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)．

    【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15兩種情況討論．

利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等

例3．（2006年常德市）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ．

    （1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由．

    【分析】（1）把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）連接PQ，則△PBQ是等邊三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．

    【點(diǎn)評(píng)】利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)完成此題的證明．

【考點(diǎn)精練】

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