已知數(shù)列中,,設(shè).
(Ⅰ)試寫出數(shù)列的前三項(xiàng);
(Ⅱ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)的前項(xiàng)和為,求證:.
(Ⅰ),,;(Ⅱ)證明見試題解析,;(Ⅲ)證明見試題解析.
解析試題分析:(Ⅰ)由遞推公式求出,再利用可直接求出;(Ⅱ)要證數(shù)列是等比數(shù)列,可由數(shù)列的遞推關(guān)系建立起與的關(guān)系.
,從而證得數(shù)列是等比數(shù)列. 然后選求出,由可求出;(Ⅲ)本題最好是能求出,但由數(shù)列的通項(xiàng)公式可知不可求,結(jié)合結(jié)論是不等式形式可以用放縮法使得和可求,(等號只在時(shí)取得),然后求和,即可證得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由,得,.
由,可得,,. 3分
(Ⅱ)證明:因,故
. 5分
顯然,因此數(shù)列是以為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,即
. 7分
解得. 8分
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/83/2/xe3hj1.png" style="vertical-align:middle;" />(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號) 12分
故 14分
考點(diǎn):(1)數(shù)列的項(xiàng);(2)等比數(shù)列的定義;(3)放縮法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2) 設(shè)數(shù)列滿足,是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請說明理由。
(3) 令,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,其中,證明:。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(1)若是常數(shù),問當(dāng)滿足什么條件時(shí),函數(shù)有最大值,并求出取最大值時(shí)的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)對同時(shí)滿足條件:(甲)取最大值時(shí)的值與取最小值的值相同,(乙)?
(3)把滿足條件(甲)的實(shí)數(shù)對的集合記作A,設(shè),求使的的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差.且分別是等比數(shù)列的.
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)均有 成立,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的首項(xiàng)其中,令集合.
(Ⅰ)若是數(shù)列中首次為1的項(xiàng),請寫出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng);
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求集合中元素個數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列中,,.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,公差為,為其前n項(xiàng)和,且滿足,.?dāng)?shù)列滿足,, 為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在正整數(shù),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn.
(1)若對任意的n∈N,a2n﹣1,a2n+1,a2n組成公差為4的等差數(shù)列,且,求n的值;
(2)若數(shù)列{}是公比為q(q≠﹣1)的等比數(shù)列,a為常數(shù),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為
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