已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足, 且,其中.
(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2) 設(shè)數(shù)列滿足,是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由。
(3) 令,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,其中,證明：。

（1）  （2）存在且， 

解析試題分析：
（1）利用十字相乘法分解，得到關(guān)于的遞推式，證得數(shù)學(xué)為等比數(shù)列且可以知道公比，則把公比帶入式子就可以求出首項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式.
（2）由第一問可得的通項(xiàng)公式帶入可的通項(xiàng)公式，結(jié)合成等比數(shù)列，滿足等比中項(xiàng)，得到關(guān)于m,n的等式，借助m,n都為正整數(shù)，利用等式兩邊的范圍求出n,m的范圍等到m,n的值.
（3）由（1）得，帶入得到，由于要得到錢n項(xiàng)和，故考慮把進(jìn)行分離得到 ，進(jìn)而利用分組求和和裂項(xiàng)求和求的，觀察的單調(diào)性，可得到與都關(guān)于n單調(diào)遞減，進(jìn)而得到關(guān)于n是單調(diào)遞增的，則有，再根據(jù)的非負(fù)性，即可得到，進(jìn)而證明原式.
試題解析：
(1) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/4/1tabt3.png" style="vertical-align:middle;" />,即  1分
又,所以有,即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列. 2分
由得,解得。  3分
從而，數(shù)列的通項(xiàng)公式為。  4分
(2)=，若成等比數(shù)列，則，  5分
即．由，可得，  6分
所以，解得：。  7分
又，且，所以，此時．   
故當(dāng)且僅當(dāng)，.使得成等比數(shù)列。  8分
(3)
   10分
∴
   12分
易知遞減，∴0＜  13分
∴，即  14分
考點(diǎn)：十字相乘法 等比數(shù)列 分組求和 裂項(xiàng)求和 不等式 單調(diào)性

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和與滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，3Sn＝an－1(n∈N?)．
(1)求a1，a2；
(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(3)求an和Sn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)均在直線上.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，試求Tn;
（3）設(shè)cn=anbn,Rn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求Rn.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝t，點(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝2x＋1上，n∈N*.
(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列？
(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn＝log3an＋1，Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和， 求T2 013的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，，求使恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．

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設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；
（Ⅲ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中，，設(shè)．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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