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【題目】在如圖所示的圓柱O1O2中,等腰梯形ABCD內接于下底面圓O1 , AB∥CD,且AB為圓O1的直徑,EA和FC都是圓柱O1O2的母線,M為線段EF的中點.
(1)求證:MO1∥平面BCF;
(2)已知BC=1,∠ABC=60°,且直線AF與平面ABC所成的角為30°,求平面MAB與平面EAD所成的角(銳角)的余弦值.

【答案】
(1)證明:如圖,取BC的中點N,連接FN,O1N,則O1N平行且等于MF,

∴O1NFM是平行四邊形,∴O1M∥FN,

∵MO1平面BCF,F(xiàn)N平面BCF,

∴MO1∥平面BCF;


(2)在Rt△ABC中,∵BC=1,∠ABC=60°,∴AC= ,AB=2,

∵等腰梯形ABCD內接于下底面圓O1,AB∥CD,且AB為圓O1的直徑,∴DC=1

直線AF與平面ABC所成的角為30°,∴∠FAC=30°,在Rt△AFC中,可得FC=1.

如圖以C為原點,CA、CB、CF分別為x、y、z軸建立坐標系C﹣xyz,

則A( ,B(0,1,0),E( ,0,1),F(xiàn)(0,0,1),∴M( ,0,1),

∵BD⊥AD,AE⊥面ABC,∴DB⊥面AED,平面ADE的法向量為 =( ,﹣ ,0);

設面ABM的法向量為 ,

,取

平面MAB與平面EAD所成的角(銳角)的余弦值為|cos< >|=


【解析】(1)取BC的中點N,連接FN,證明O1M∥FN即可;(2)以C為原點,CA、CB、CF分別為x、y、z軸建立坐標系C﹣xyz,求出法向量,利用向量的夾角公式求解.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識,掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

練習冊系列答案
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