【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣mex(m∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)≤e2x對(duì)x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)x1 , x2(x1≠x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)兩點(diǎn),求證x1+x2>2.

【答案】
(1)解:f′(x)=1﹣mex

當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù);

當(dāng)m>0時(shí),由f′(x)>0,得x<﹣lnm,∴f(x)在(﹣∞,﹣lnm)上為增函數(shù);

由f′(x)<0,得x>﹣lnm,∴f(x)在(﹣lnm,+∞)上為減函數(shù)


(2)解:f(x)≤e2xm≥ ,

設(shè)g(x)= ,則g′(x)= ,

當(dāng)x<0時(shí),1﹣e2x>0,g′(x)>0,則g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增;

當(dāng)x>0時(shí),1﹣e2x<0,g′(x)<0,則g(x)在(0,﹣∞)上單調(diào)遞減.

∴g(x)max=g(0)=﹣1,則m≥﹣1


(3)證明:f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1,x2,則 ,

因此 ,即m=

要證x1+x2>2,只要證明 >2,即證 >2.

不妨設(shè)x1>x2,記t=x1﹣x2,則t>0,et>1,

因此只要證明 >2,即(t﹣2)et+t+2>0.

記h(t)=(t﹣2)et+t+2(t>0),h′(t)=(t﹣1)et+1,h″(t)=tet

當(dāng)t>0時(shí),h″(t)=tet>0,∴h′(t)>h′(0)=0,

則h(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴h(t)>h(0)=0,

即(t﹣2)et+t+2>0成立.

∴x1+x2>2.


【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1﹣mex . 當(dāng)m≤0時(shí),則f′(x)>0,函數(shù)f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù);當(dāng)m>0時(shí),由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性;(2)f(x)≤e2xm≥ ,設(shè)g(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最大值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍可求;(3)由f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1 , x2 , 得 ,兩式作差可得 ,即m= .要證x1+x2>2,只要證明 >2,即證 >2.不妨設(shè)x1>x2 , 記t=x1﹣x2 , 則t>0,et>1,轉(zhuǎn)化為(t﹣2)et+t+2>0.構(gòu)造函數(shù)h(t)=(t﹣2)et+t+2(t>0),利用導(dǎo)數(shù)證明(t﹣2)et+t+2>0成立.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知過(guò)拋物線E:x2=2py(p>0)焦點(diǎn)F且傾斜角的60°直線l與拋物線E交于點(diǎn)M,N,△OMN的面積為4. (Ⅰ)求拋物線E的方程;
(Ⅱ)設(shè)P是直線y=﹣2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作拋物線E的切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線AB與直線OP、y軸的交點(diǎn)分別為Q、R,點(diǎn)C、D是以R為圓心、RQ為半徑的圓上任意兩點(diǎn),求∠CPD最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)min{m,n}表示m、n二者中較小的一個(gè),已知函數(shù)f(x)=x2+8x+14,g(x)=min{( x2 , log2(4x)}(x>0),若x1∈[﹣5,a](a≥﹣4),x2∈(0,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,則a的最大值為(
A.﹣4
B.﹣3
C.﹣2
D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在如圖所示的圓柱O1O2中,等腰梯形ABCD內(nèi)接于下底面圓O1 , AB∥CD,且AB為圓O1的直徑,EA和FC都是圓柱O1O2的母線,M為線段EF的中點(diǎn).
(1)求證:MO1∥平面BCF;
(2)已知BC=1,∠ABC=60°,且直線AF與平面ABC所成的角為30°,求平面MAB與平面EAD所成的角(銳角)的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】雙十一期間某電商準(zhǔn)備矩形促銷(xiāo)市場(chǎng)調(diào)查,該電商決定活動(dòng),市場(chǎng)調(diào)查,該電商決定從2種服裝商品,2種家電商品,3種日用商品中,選出3種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng).
(1)試求選出的3種商品中至多有一種是家電商品的概率;
(2)電商對(duì)選出的某商品采用促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售,顧客購(gòu)買(mǎi)該商品,一共有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì),若中獎(jiǎng),則每次都活動(dòng)數(shù)額為40元的獎(jiǎng)券,假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)中獎(jiǎng)的概率都是 ,且每次中獎(jiǎng)互不影響,設(shè)一位顧客中獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,輸出的x的值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2 sinxcosx+a,且當(dāng)x∈[0, ]時(shí),f(x)的最小值為2.
(1)求a的值,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)先將函數(shù)y=f(x)的圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的 ,再將所得圖象向右平移 個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求方程g(x)=4在區(qū)間[0, ]上所有根之和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若正數(shù)x,y滿(mǎn)足15x﹣y=22,則x3+y3﹣x2﹣y2的最小值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足 ,且{a2n1}是遞減數(shù)列,{a2n}是遞增數(shù)列,則5﹣6a10=

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案