【題目】如圖,已知橢圓C1的中心在原點O,長軸左、右端點M、N在x軸上,橢圓C2的短軸為MN,且C1、C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點,與C2交于兩點,這四點縱坐標從大到小依次為A、B、C、D.

(1)設(shè) ,求|BC|與|AD|的比值;
(2)若存在直線l,使得BO∥AN,求橢圓離心率e的取值范圍.

【答案】
(1)

解:因為C1、C2的離心率相同,

故依題意可設(shè)

設(shè)直線l:x=t(|t|<a)分別和C1、C2的方程聯(lián)立,

求得

時, ,分別用yA、yB表示A、B的縱坐標,

|BC|與|AD|的比值


(2)

解:t=0時的l不符合題意,t≠0時,BO∥AN,當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,

即: ,解得

因為|t|<a,又0<e<1,

所以 ,解得

∴當 時,存在直線l,使得BO∥AN,即離心率e的取值范圍是 ,

∴橢圓離心率e的取值范圍


【解析】(1)由題意設(shè)橢圓方程,聯(lián)立即可求得A和B坐標,當 時, ,分別用yA、yB表示A、B的縱坐標, ;(2)分類,當t=0時的l不符合題意,當t≠0時,當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,根據(jù)斜率公式求得t,由 ,即可橢圓離心率e的取值范圍.

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