已知動點到點的距離,等于它到直線的距離.
(Ⅰ)求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點任意作互相垂直的兩條直線,分別交曲線于點.設線段,的中點分別為,求證:直線恒過一個定點;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求面積的最小值.
(Ⅰ)(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
題考查圓錐曲線和直線的位置關系和綜合應用,具有一定的難度,解題時要認真審題,注意挖掘隱含條件,仔細解答.
(Ⅰ)設動點M的坐標為(x,y),由題意得
(x-1)2+y2
=|x+1|,由此能求出點M的軌跡C的方程.
(Ⅱ)設A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則點P的坐標由題意可設直線l1的方程為y=k(x-1)(k≠0),由
y2=4x
y=k(x-1)
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.再由根的判別式和根與系數(shù)的關系進行求解.
(Ⅲ)題題設能求出|EF|=2,所以△FPQ面積S由均值不等式得到。
解:(Ⅰ)設動點的坐標為,由題意得,,化簡得,所以點的軌跡的方程為(或由拋物線定義 解)                                                        ……4分
(Ⅱ)設兩點坐標分別為,則點的坐標為.由題意可設直線的方程為
.
.
因為直線與曲線兩點,所以,.所以點的坐標為.
由題知,直線的斜率為,同理可得點的坐標為.
時,有,此時直線的斜率.
所以,直線的方程為,
整理得.于是,直線恒過定點
時,直線的方程為,也過點
綜上所述,直線恒過定點.          …………10分
(Ⅲ),面積.
當且僅當時,“”成立,所以面積的最小值為.……13分
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

曲線與直線有兩個不同的交點,實數(shù)的范圍是()
A.(,+∞)B.(,C.(0,)D.(,

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在平面直角坐標系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,則的最大值是     ;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

將圓平分的直線的方程可以是(  )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

在平面直角坐標系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,則的取值范圍是(   )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

已知直線與圓沒有交點,則的取值范圍
             .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

直線被圓截得的弦長等于(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(本小題10分)圓內有一點P(-1,2),AB過點P
(1)若弦長,求直線AB的方程;
(2)若圓上恰有三點到直線AB的距離等于,求直線AB的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知直線與圓相交于點和點。
(1)求圓心所在的直線方程;    
(2)若圓心的半徑為1,求圓的方程

查看答案和解析>>

同步練習冊答案