Question

已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對(duì)任意，
① 方程有實(shí)數(shù)根；② 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足．
（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003322633315.png" style="vertical-align:middle;" />，則對(duì)于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（Ⅲ）對(duì)任意，且，求證：對(duì)于定義域中任意的，，，當(dāng)，且時(shí)，

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)是集合中的元素.
（Ⅱ）方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
（Ⅲ）對(duì)于任意符合條件的,總有成立.

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，
所以方程有實(shí)數(shù)根0；
②，
所以，滿足條件；
由①②，函數(shù)是集合中的元素.            5分
（Ⅱ）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，
則，.
不妨設(shè)，根據(jù)題意存在，
滿足.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003323272511.png" style="vertical-align:middle;" />，，且，所以.
與已知矛盾.又有實(shí)數(shù)根，
所以方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.                     10分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；                   11分
當(dāng)，不妨設(shè).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003323413621.png" style="vertical-align:middle;" />,且所以為增函數(shù)，那么.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003323475611.png" style="vertical-align:middle;" />，所以函數(shù)為減函數(shù)，
所以.
所以，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003322804512.png" style="vertical-align:middle;" />，所以， （1）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003322804503.png" style="vertical-align:middle;" />，所以， （2）
（1）（2）得即.
所以.
綜上，對(duì)于任意符合條件的,總有成立.  14分
點(diǎn)評(píng)：綜合題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。證明方程只有一個(gè)實(shí)根，可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性實(shí)現(xiàn)，本解法運(yùn)用的是反證法。由自變量取值，且，確定函數(shù)值的關(guān)系，關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)兩者的有機(jī)轉(zhuǎn)換。