Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E（0，1），連接AE．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點D為拋物線在x軸負半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 二次函數解析式為y＝x2+2x﹣3；(2) △ADE的面積取得最大值為；（3）點P的坐標為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．

【解析】

（1）利用待定系數法求解可得；

（2）先求出直線的解析式為，作軸，延長交于點，設，則，，根據可得函數解析式，利用二次函數性質求解可得答案；

（3）先根據拋物線解析式得出對稱軸為直線，據此設，由，知，，，再分，及三種情況分別求解可得.

解：（1）∵二次函數y＝ax2+bx﹣3經過點A（﹣3，0）、B（1，0），

∴，

解得：，

∴二次函數解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）設直線AE的解析式為y＝kx+b，

∵過點A（﹣3，0），E（0，1），

∴，

解得：，

∴直線AE解析式為，

如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，延長DG交AE于點F，

設D（m，m2+2m﹣3），則F（），

∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，

∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF

＝×DF×AG+DF×OG

＝×DF×（AG+OG）

＝×3×DF

＝（﹣m2﹣m+4）

＝﹣m2﹣m+6

＝﹣（m+）2+，

∴當m＝時，△ADE的面積取得最大值為．

（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，

設P（﹣1，n），

∵A（﹣3，0），E（0，1），

∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，

①若AP＝AE，則AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，

∴點P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

②若AP＝PE，則AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，

∴P（﹣1，﹣1）；

③若AE＝PE，則AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，

∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；

綜上，點P的坐標為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．