Question

【題目】如圖，O為菱形ABCD對角線上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M．

（1）求證：CD與⊙O相切；

（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC＝60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為﹣6+4．

【解析】

（1）連接OM，過點O作ON⊥CD于N．只要證明OM=ON即可解決問題；

（2）設(shè)半徑為r，則OC=2-r，OM=r，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題

（1）連接OM，過點O作ON⊥CD于N，

∵⊙O與BC相切于點M，

∴OM⊥BC，OM是⊙O的半徑，

∵AC是菱形ABCD的對角線，

∴AC平分∠BCD，

∵ON⊥CD，OM⊥BC，

∴ON＝OM＝r，

∴CD與⊙O相切；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ACB是等邊三角形，

∴AC＝AB＝2，

設(shè)半徑為r．則OC＝2﹣r，OM＝r，

∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，

∴∠COM＝30°，MC＝，

在Rt△OMC中，∠OMC＝90°，

∵OM2+CM2＝OC2，

∴r2+（）2＝（2﹣r）2，

解得r＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍棄），

∴⊙O的半徑為﹣6+4．