【題目】(發(fā)現(xiàn)問(wèn)題)愛(ài)好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目:

如圖1,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),⊙O的半徑為1,點(diǎn)A2,0).動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上,連結(jié)AB,作等邊ABCAB,C為順時(shí)針順序),求OC的最大值.

(解決問(wèn)題)小明經(jīng)過(guò)多次的嘗試與探索,終于得到解題思路:在圖①中,連接OB,以OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE

1)請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線段,并說(shuō)明理由;

2)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OC的最大值.

(遷移拓展)

3)如圖2,BC4,點(diǎn)D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以BD為邊作等邊ABD,請(qǐng)求出AC的最值,并說(shuō)明理由.

【答案】[解決問(wèn)題](1)OCAE,(2OC的最大值為3[遷移拓展]3AC的最大值為2+2AC的最小值為22

【解析】

1)結(jié)論:OC=AE.只要證明△CBO≌△ABE即可;
2)當(dāng)E、O、A共線,AE有最大值,此時(shí)OC有最大值,據(jù)此求解即可;
3)當(dāng)點(diǎn)A在線段BD的左側(cè)時(shí),以BC為邊作等邊三角形△BCM,由△ABC≌△DBM,推出AC=MD,推出欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可,當(dāng)點(diǎn)DBC上方,DMBC時(shí),DM的值最大;當(dāng)點(diǎn)A在線段BD的左側(cè)時(shí),同理可求AC的最小值.

解:【解決問(wèn)題】

1)如圖1中,結(jié)論:OCAE

理由:∵△ABC,△BOE都是等邊三角形,

BCBABOBE,∠CBA=∠OBE60°

∴∠CBO=∠ABE,

∴△CBO≌△ABESAS),

OCAE

2)在△AOE中,AE≤OE+OA,

∴當(dāng)E、OA共線,

AE的最大值為3,

OC的最大值為3

【遷移拓展】

3)如圖2中,以BC為邊作等邊三角形△BCM,

∵∠ABD=∠CBM60°

∴∠ABC=∠DBM,且ABDB,BCBM,

∴△ABC≌△DBMSAS),

ACMD,

∴欲求AC的最大值,只要求出DM的最大值即可,

BC4=定值,∠BDC90°

∴點(diǎn)D在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng),

由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)DBC上方,DMBC時(shí),DM的值最大,最大值=2+2

AC的最大值為2+2

當(dāng)點(diǎn)A在線段BD的右側(cè)時(shí),同理可得AC的最小值為2-2

綜上所述AC的最大值為2+2 ,最小值為2-2.

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