Question

【題目】如圖，拋物線過A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)P（m，n）是線段AD上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長？

（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）R，使得P、Q、D、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；（2）l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1），當(dāng)m＝﹣時(shí)，PQ最長，最大值為；（3）存在，符合條件的點(diǎn)R共有6個(gè)，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．

【解析】

（1）拋物線y＝ax2+bx﹣3過A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出拋物線的解析式，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為﹣2，可求點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求直線AD的解析式；

（2）點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)橫坐標(biāo)為m時(shí)，相應(yīng)的縱坐標(biāo)可以根據(jù)解析式表示出來，而PQ的長l就是P點(diǎn)、Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，于是可以得到l與m的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的最值，可求m為何值時(shí)，PQ最長，PQ的最大值也能求出；

（3）使P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可以分兩種情況：一是PQ為一邊時(shí)，點(diǎn)R必在直線x＝﹣2上，再根據(jù)PQ為最大值以下的整數(shù)值，得到PQ的整數(shù)值，在直線x＝﹣2上可以找到點(diǎn)R的位置，確定點(diǎn)R的坐標(biāo)，得出在點(diǎn)D上方存在，在點(diǎn)D下方也存在；二是PQ為一條對角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，PQ與DR互相平分，此時(shí)R與C 重合．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，

∴D（﹣2，﹣3），

設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，將A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：

解得：，

∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；

因此直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵點(diǎn)P在直線AD上，Q拋物線上，P（m，n），

∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的長l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

∴當(dāng)m＝﹣＝時(shí)，PQ的長l最大＝﹣（﹣）2﹣（﹣）+2＝．

答：線段PQ的長度l與m的關(guān)系式為：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

當(dāng)m＝﹣時(shí)，PQ最長，最大值為．

（3）①若PQ為平行四邊形的一邊，則R一定在直線x＝﹣2上，如圖：

∵PQ的長為0＜PQ≤的整數(shù)，

∴PQ＝1或PQ＝2，

當(dāng)PQ＝1時(shí)，則DR＝1，此時(shí)，在點(diǎn)D上方有R1（﹣2，﹣2），在點(diǎn)D下方有R2（﹣2，﹣4）；

當(dāng)PQ＝2時(shí)，則DR＝2，此時(shí)，在點(diǎn)D上方有R3（﹣2，﹣1），在點(diǎn)D下方有R4（﹣2，﹣5）；

②若PQ為平行四邊形的一條對角線，則PQ與DR互相平分，

當(dāng)PQ＝1時(shí)，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此時(shí)x不是整數(shù)，

當(dāng)PQ＝2時(shí)，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此時(shí)x1＝﹣1，x2＝0；當(dāng)x1＝﹣1，R與點(diǎn)C重合，即R5（0，﹣3），當(dāng)x2＝0；此時(shí)R6（2，﹣1）

綜上所述，符合條件的點(diǎn)R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），

R6（2，﹣1）．

答：符合條件的點(diǎn)R共有6個(gè)，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．