【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C、D是半圓AB的三等分點,過點C作AD延長線的垂線CE,垂足為E.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.
(3)若弦CN過△ABC的內(nèi)心點M,MN=,求CN.
【答案】(1)證明見解析;(2) ;(3)CN=.
【解析】
(1)由已知條件得出,由圓周角定理得出∠BOC=∠A,證出OC∥AD,再由已知條件得出CE⊥OC,即可證出CE為⊙O的切線;
(2)連接OD,OC,由,得到∠COD=×180°=60°,根據(jù)CD∥AB,得到S△ACD=S△COD,根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論.
(3)過點B作BP⊥CN,證明△MCB∽△BCN,得,代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可得解.
證明:(1)如圖1,連接OD,OC,
∵點C、D為半圓O的三等分點,
∴,
∴∠BOC=∠BAE,
∴OC∥AD,
∵CE⊥AD,
∴CE⊥OC,
∴CE為⊙O的切線;
(2)∵,
∴∠COD=×180°=60°,
∵CD∥AB,
∴S△ACD=S△COD,
∴圖中陰影部分的面積=S扇形COD==;
(3)如圖2,過點B作BP⊥CN,
∵點M是△ACB的內(nèi)心,
∴∠ACN=∠BCN=45°,∠CBM=∠ABC=30°,
∵BP⊥CN,
∴∠NCB=∠CBP=45°,
∴CP=BP=BC,
∵∠CAB=∠CNB=30°,
∴PN=PB=BC,
∴CN=PN+CP=BC,
∵∠CBM=∠CNB=30°,∠MCB=∠NCB,
∴△MCB∽△BCN,
∴,
∴BC2=BC×(BC﹣2),
∴BC=2,
∴CN=×2=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】萬州區(qū)初中數(shù)學(xué)教研工作坊到重慶某中學(xué)開展研討活動,先后乘坐甲、乙兩輛汽車從萬州出發(fā)前往相距250千米的重慶,乙車先出發(fā)勻速行駛,一段時間后,甲車出發(fā)勻速追趕,途中因油料不足,甲到服務(wù)區(qū)加油花了6分鐘,為了盡快追上乙車,甲車提高速度仍保持勻速行駛,追上乙車后繼續(xù)保持這一速度直到重慶,如圖是甲、乙兩車之間的距離s(km),乙車出發(fā)時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系圖象,則甲車從萬州出發(fā)到重慶共花費了_____小時.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的頂點D、F分別在AC、BC邊上,設(shè)CD的長度為x,△ABC與正方形CDEF重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸相交于點、點,與軸交于點,點是拋物線上一動點, 聯(lián)結(jié)交線段于點.
(1)求這條拋物線的解析式,并寫出頂點坐標;
(2)求的正切值;
(3)當(dāng)與相似時,求點的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線過A(1,0)、B(﹣3,0),C(0,﹣3)三點,直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標為﹣2,點P(m,n)是線段AD上的動點,過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q.
(1)求直線AD及拋物線的解析式;
(2)求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式,m為何值時,PQ最長?
(3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R,使得P、Q、D、R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點R的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解全校1500名學(xué)生對學(xué)校設(shè)置的籃球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳繩共5項體育活動的喜愛情況,在全校范圍內(nèi)隨機抽查部分學(xué)生,對他們喜愛的體育項目(每人只選一項)進行了問卷調(diào)查,將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖兩幅不完整統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列各題.
(1)m= %,這次共抽取了 名學(xué)生進行調(diào)查;并補全條形圖;
(2)請你估計該校約有 名學(xué)生喜愛打籃球;
(3)現(xiàn)學(xué)校準備從喜歡跳繩活動的4人(三男一女)中隨機選取2人進行體能測試,請利用列表或畫樹狀圖的方法,求抽到一男一女學(xué)生的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,的平分線交于點E,交的延長線于F,以為鄰邊作平行四邊形。
(1)證明平行四邊形是菱形;
(2)若,連結(jié),①求證:;②求的度數(shù);
(3)若,,,M是的中點,求的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD邊于點E,將△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置,并延長BE交DF于點G.
(1)求證:△BDG∽△DEG;
(2)若EGBG=4,求BE的長.
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