【題目】如圖,ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,ADBCD,AE平分∠BAD,交BCE,在ABC外有一點F,使FAAEFCBC

(1)求證:BE=CF;

(2)在AB上取一點M,使得BM=2DE,連接ME

①求證:MEBC;

②求∠EMC的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②67.5°

【解析】

試題(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠ABC=∠ACB=45°,由FC⊥BC可知∠ACF=45°,從而得出∠ABE=∠ACF;由∠BAE、∠CAF均為∠EAC的余角可得出∠BAE=∠CAF,結(jié)合AB=AC即可得出△ABE≌△ACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;

(2)①過點E作EQ⊥AB于點Q,由△AEQ≌△AED可得出QE=DE;根據(jù)∠BQE=90°和∠QBE=45°可得出∠BEQ=45°、BQ=QE,再由BE=2DE=2QE即可得出∠QEC=45°,由此可得出∠BEM=90°,即ME⊥BC;

②設(shè)DE=a,則BM=2a,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可用含a的代數(shù)式表示AB和BD,由邊與邊的關(guān)系可得出AM=ME,結(jié)合MC=MC可證得Rt△MAC≌Rt△MEC,即∠EMC=∠AMC,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=45°,

FCBC,

∴∠ACF+∠ACB=90°,

∴∠ACF=45°=∠ABE

∵∠BAC=90°,FAAE,

∴∠BAE+∠EAC=90°=∠CAF+∠EAC

∴∠BAE=∠CAF

ABEACF,

∴△ABE≌△ACF(ASA),

BE=CF

(2)①過點EEQAB于點Q,如圖所示.

AE平分∠BAD,

∴∠QAE=∠DAE,

AEQAED

,

∴△AEQ≌△AED(AAS),

QE=DE

∵∠BQE=90°,∠QBE=45°,

∴∠BEQ=45°,

BQ=QE,

又∵BM=2DE=QE,

QM=QE

∴∠QEM=∠QME==45°,

∴∠BEM=∠BEQ+∠QEM=90°,

MEBC

②設(shè)DE=a,則BM=2a

∵△BEM為等腰直角三角形,

BE=EM=BM=a,

BD=BE+DE=(+1)a

∵△ABC為等腰直角三角形,ADBC,

AB=BD=×(+1)a=(2+a

BM=2a,

AM=(2+a﹣2a=a,

AM=EM

Rt△MACRt△MEC, ,

∴Rt△MAC≌Rt△MEC(HL),

∴∠EMC=∠AMC,

又∵∠BME=45°,

∴∠EMC=(180°﹣45°)=67.5°.

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