Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0）．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿AO運(yùn)動；同時，點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OB運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．

（1）求運(yùn)動時間t的取值范圍；
（2）t為何值時，△POQ的面積最大？最大值是多少？
（3）t為何值時，以點(diǎn)P、0、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（0，6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

∵點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OB運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，

∴2t=8，

解得：t=4，

∴0≤t≤4；

（2）

解：根據(jù)題意得：經(jīng)過t秒后，AP=t，OQ=2t，

∴OP=OA﹣AP=6﹣t，

∵△POQ的面積= OPOQ，

即△POQ的面積= （6﹣t）×2t=﹣t2+6t．

∵a=﹣1＜0，

∴△POQ的面積有最大值，

當(dāng)t=﹣ =3時，△POQ的面積的最大值= =9，

即當(dāng)t=3時，△POQ的面積最大，最大值是9．

（3）

解：①若Rt△POQ∽Rt△AOB時，

∵Rt△POQ∽Rt△AOB，

∴ ，

即 = ，

解得：t= ；

②若Rt△QOP∽Rt△AOB時，

∵Rt△QOP∽Rt△AOB，

∴ ，

即 ，

解得：t= ．

所以當(dāng)t為 或 時，以點(diǎn)P、0、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB相似．

【解析】（1）由點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿OB運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，可得：2t=8，解得：t=4，進(jìn)而可得：0≤t≤4；（2）先根據(jù)三角形的面積公式，用含有t的式子表示△POQ的面積=﹣t2+6t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值公式解答即可；（3）分兩種情況討論：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求出相應(yīng)的t的值．
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．