【題目】已知,如圖,矩形ABCD中,AD6,DC7,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,H分別在矩形ABCD的邊ABCD,DA上,AH2,連接CF

1)若DG2,求證四邊形EFGH為正方形;

2)若DG6,求FCG的面積;

3)當(dāng)DG為何值時(shí),FCG的面積最。

【答案】1)見(jiàn)解析;(2SFCG=1;(3)當(dāng)DG時(shí),△FCG的面積最小為(7-).

【解析】

1)利用菱形和矩形的性質(zhì)得到∠D=∠A90°,HGHE,進(jìn)而利用HL證得

RtAHERtDGH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DHG=∠HEA,證得∠EHG90°,即可得證;

2)過(guò)FFMDC,交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連接GE,由于ABCD,可得∠AEG=∠MGE,同理有∠HEG=∠FGE,進(jìn)而得到∠AEH=∠MGF,再結(jié)合∠A=∠M90°,HEFG,可證△AHE≌△MFG,從而有FMHA2,即無(wú)論菱形EFGH如何變化,點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離始終為定值2,進(jìn)而可求三角形面積;

(3)設(shè)DGx,則由第(2)小題得,SFCG7x,在△AHE中,AEAB7,利用勾股定理可得HE253,在Rt△DHG中,再利用勾股定理可得x2+1653,進(jìn)而可求x,從而得到當(dāng)DG時(shí),△FCG的面積最小.

1)∵四邊形ABCD為矩形,四邊形HEFG為菱形,

∴∠D=∠A90°,HGHE,又AHDG2

RtAHERtDGHHL),

∴∠DHG=∠HEA,

∵∠AHE+HEA90°,

∴∠AHE+DHG90°,

∴∠EHG90°,

∴四邊形HEFG為正方形;

2)過(guò)FFMDC,交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于M,連接GE,

ABCD

∴∠AEG=∠MGE,

HEGF,

∴∠HEG=∠FGE

∴∠AEH=∠MGF,

在△AHE和△MFG中,∠A=∠M90°,HEFG,

∴△AHE≌△MFG

FMHA2,即無(wú)論菱形EFGH如何變化,點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離始終為定值2,

因此;

3)設(shè)DGx,則由第(2)小題得,SFCG7x,在△AHE中,AEAB7,

HE253,

x2+1653,

x

SFCG的最小值為,此時(shí)DG,

∴當(dāng)DG時(shí),△FCG的面積最小為().

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.27B.9C.7D.16

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2)根據(jù)實(shí)際情況,對(duì)于(1)式中的函數(shù)自變量能否取值為4m,若能,求出的值,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)若圍成矩形科技園ABCD的三邊材料總長(zhǎng)不超過(guò)26m,材料ADDC的長(zhǎng)都是整米數(shù),求出滿(mǎn)足條件的所有圍建方案。

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