【題目】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),點(diǎn)P是線(xiàn)段AD上的一點(diǎn),點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)D不重合),連接BP.將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,連接A1B1、BB1
(1)如圖①,當(dāng)0°<α<90°,在α角變化過(guò)程中,請(qǐng)證明∠PAA1=∠PBB1.
(2)如圖②,直線(xiàn)AA1與直線(xiàn)PB、直線(xiàn)BB1分別交于點(diǎn)E,F.設(shè)∠ABP=β,當(dāng)90°<α<180°時(shí),在α角變化過(guò)程中,是否存在△BEF與△AEP全等?若存在,求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖③,當(dāng)α=90°時(shí),點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合.直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)PB相交于點(diǎn)M,直線(xiàn)BB′與AC相交于點(diǎn)Q.若AB=,設(shè)AP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)α﹣2β=90°;(3)y=.
【解析】
(1)先利用旋轉(zhuǎn)得出兩個(gè)頂角相等的兩個(gè)等腰三角形,即可得出結(jié)論;
(2)假設(shè)存在,然后利用確定的出AE=BE,即可求出∠A1AP=∠AA1P,最后用∠BAC=45°建立方程化簡(jiǎn)即可;
(3)先判斷出△ABQ∽△CPB,得出比例式即可得出結(jié)論.
解:(1)∵將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,
∴∠APA1=∠BPB1=α,AP=A1P,BP=B1P,
∴∠AA1P=∠A1AP==,∠BB1P=∠B1BP==,
∴∠PAA1=∠PBB1,
(2)假設(shè)在α角變化的過(guò)程中,存在△BEF與△AEP全等,
∵△BEF與△AEP全等,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠BAE=β,
∵AP=A1P,
∴∠A1AP=∠AA1P=,
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=45°,
∴β+=45°,
∴α﹣2β=90°,
(3)當(dāng)α=90°時(shí),
∵AP=A1P,BP=B1P,∠APA1=∠BPB2=90°,
∴∠A=∠PBB1=45°,
∵∠A=∠C,∠AQB=∠C+∠QBC=45°+∠QBC=∠PBC,
∴△ABQ∽△CPB,
∴,
∵AB=,
∴,
∴y=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左邊),與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為.
(1)如圖1,請(qǐng)求出三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)為軸下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).
①如圖2,若時(shí),拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn),直線(xiàn)交軸于點(diǎn),直線(xiàn)交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn),求的值;
②如圖3,若時(shí),點(diǎn)在軸上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),連接交軸于點(diǎn),且滿(mǎn)足當(dāng)線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)時(shí),的度數(shù)大小發(fā)生變化嗎?若不變,請(qǐng)求出的值若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形中,為的中點(diǎn),的垂直平分線(xiàn)分別交,及的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),,,連接,,,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).則下列結(jié)論中:①;②;③;④;⑤.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( )
A.2B.3C.4D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處長(zhǎng)500米,高10米,背水坡的坡角為45°的防洪大堤(橫斷面為梯形ABCD)急需加固.經(jīng)調(diào)查論證,防洪指揮部專(zhuān)家組制定的加固方案是:背水坡面用土石進(jìn)行加固,并使上底加寬3米,加固后背水坡EF的坡比i=1:.
(1)求加固后壩底增加的寬度AF;
(2)求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,E為BC的四等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B的位置),F為B邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直角邊分別為和的直角三角形中,每多作一條斜邊上的高就增加一個(gè)三角形的內(nèi)切圓,依此類(lèi)推,圖10中有個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓,它們的面積分別記為,,,,,則________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C
(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)E是此拋物線(xiàn)上的點(diǎn),點(diǎn)F是其對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn),求以A,B,E,F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積;
(3)此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“六一”兒童節(jié)前夕,某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士到福利院慰問(wèn)兒童.戰(zhàn)士們從營(yíng)地出發(fā),勻速步行前往文具店選購(gòu)禮物,停留一段時(shí)間后,繼續(xù)按原速步行到達(dá)福利院(營(yíng)地、文具店、福利院三地依次在同一直線(xiàn)上).到達(dá)后因接到緊急任務(wù),立即按原路勻速跑步返回營(yíng)地(贈(zèng)送禮物的時(shí)間忽略不計(jì)),下列圖象能大致反映戰(zhàn)
士們離營(yíng)地的距離與時(shí)間之間函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖象相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(﹣2,w).
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)在x軸的正半軸上找一點(diǎn)C,使△AOC的面積等于△ABO的面積,并求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
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