Question

【題目】如圖，正方形中，為的中點，的垂直平分線分別交，及的延長線于點，，，連接，，，連接并延長交于點．則下列結論中：①；②；③；④；⑤．正確結論的個數有（ ）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】B

【解析】

①作輔助線，構建三角形全等，證明△ADE≌△GKF，則FG=AE，可得FG=2AO；

②證明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，則∠DOE≠∠HEA，OD與HE不平行；

③設正方形ABCD的邊長為2x，則AD=AB=2x，DE=EC=x，證明△ADE∽△HOA，得，所以，根據AR∥CD，得，則；④證明△HAE∽△ODE，可得，等量代換可得OE2=AHDE；

⑤分別計算HC、OG、BH的長，可得結論．

：①如圖，過G作GK⊥AD于K，

∴∠GKF=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，

∴∠ADE=∠GKF，

∵AE⊥FH，

∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，

∵∠OAF+∠AED=90°，

∴∠AFO=∠AED，

∴△ADE≌△GKF，

∴FG=AE，

∵FH是AE的中垂線，

∴AE=2AO，

∴FG=2AO，

故①正確；

②∵FH是AE的中垂線，

∴AH=EH，

∴∠HAE=∠HEA，

∵AB∥CD，

∴∠HAE=∠AED，

Rt△ADE中，∵O是AE的中點，

∴，

∴∠ODE=∠AED，

∴∠HEA=∠AED=∠ODE，

當∠DOE=∠HEA時，OD∥HE，

但AE＞AD，即AE＞CD，

∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，

∴OD與HE不平行，

故②不正確；

③設正方形ABCD的邊長為2x，則AD=AB=2x，DE=EC=x，

∴，，

易得△ADE∽△HOA，

∴，

∴，

∴，

Rt△AHO中，由勾股定理得：，

∴BH=AH-AB= ，

∴，

延長CM、BA交于R，

∵RA∥CE，

∴∠ARO=∠ECO，

∵AO=EO，∠ROA=∠COE，

∴△ARO≌△ECO，

∴AR=CE，

∵AR∥CD，

∴，

∴，

∴，

故③正確；

④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，

∴△HAE∽△ODE，

∴，

∵AE=2OE，OD=OE，

∴OE2OE=AHDE，

∴2OE2=AHDE，

故④正確；

⑤由③知：，

∵，

，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴OG+BH≠HC，

故⑤不正確；

本題正確的有；①③④，3個，

故答案為：B．