Question

4．已知方程kx²-（2k+1）x-3=0．
（1）若方程在（-1，1）和（1，3）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程有一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若方程在（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 令y=kx²-（2k+1）x-3，根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得出k≠0．
（1）分別帶入x=-1、1、3求出y值，根據(jù)方程在（-1，1）和（1，3）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，可得出關(guān)于k的一元二次不等式組，解不等式組即可得出k的取值范圍；
（2）帶入x=1求出y值，根據(jù)方程有一個(gè)根小于1、另一個(gè)根大于1，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范圍；
（3）分別帶入x=-1、1求出y值，根據(jù)方程在（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于k的一元二次不等式組，解不等式組即可得出k的取值范圍．

解答 解：令y=kx²-（2k+1）x-3，
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴k≠0．
（1）當(dāng)x=-1時(shí)，y=k-（2k+1）×（-1）-3=3k-2；
當(dāng)x=1時(shí)，y=k-（2k+1）-3=-k-4；
當(dāng)x=3時(shí)，y=9k-3（2k+1）-3=3k．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）和（1，3）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（3k-2）（-k-4）＜0}\\{（-k-4）•3k＜0}\end{array}\right.$，解得：k＜-4或k＞$\frac{2}{3}$．
∴若方程在（-1，1）和（1，3）內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＜-4或k＞$\frac{2}{3}$．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，y=k-（2k+1）-3=-k-4．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0有一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，
∴k與-k-4的符號(hào)相反．
當(dāng)k＞0時(shí)，-k-4＜0，
解得：k＞-4，
此時(shí)k＞0；
當(dāng)k＜0時(shí)，-k-4＞0，
解得：k＜-4，
此時(shí)k＜-4．
綜上可知：若方程有一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，實(shí)數(shù)k的取值范圍為k＞0或k＜-4．
（3）當(dāng)x=-1時(shí)，y=k-（2k+1）×（-1）-3=3k-2；
當(dāng)x=1時(shí)，y=k-（2k+1）-3=-k-4．
∵方程kx²-（2k+1）x-3=0在（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=[-（2k+1）]^{2}-4k•（-3）≥0}\\{-1＜\frac{2k+1}{2k}＜1}\\{（3k-2）（-k-4）＞0}\end{array}\right.$，解得：-4＜k≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$．
∴若方程在（-1，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，實(shí)數(shù)k的取值范圍為-4＜k≤$\frac{-4-\sqrt{15}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根的分布、解一元一次不等式以及解一元二次不等式組，解題的關(guān)鍵是：（1）找出關(guān)于k的一元二次不等式組；（2）找出關(guān)于k的一元一次不等式；（3）找出關(guān)于k的一元二次不等式組．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)一元二次方程根的分布找出不等式（或不等式組）是關(guān)鍵．