Question

10．已知二次函數中x和y的部分對應值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-3	-4	-3	0	…

（1）求二次函數的解析式；
（2）如圖，點P是直線BC下方拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積；
（3）在拋物線上，是否存在一點Q，使△QBC中QC=QB？若存在請直接寫出Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）首先求得直線BC的解析式，過P作PN⊥x軸交直線BC于點M，然后根據S_△BPC=S_△PCM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•ON+$\frac{1}{2}$PM•NB，即可把S△BPC表示成P的橫坐標x的函數，根據函數的性質求最值；
（3）QC=QB，則Q就是線段BC的中垂線與二次函數的交點，首先求得BC的解析式，然后解方程組即可．

解答 解：（1）設y=a（x+1）（x-3）把（0，-3）代入可得：-3=a（0+1）（0-3）
解得：a=1則y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∴二次函數的解析式為：y=x²-2x-3；
（2）S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPC=$\frac{1}{2}$×1×3+S_△BPC，
設直線BC的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
則直線BC的解析式是：y=x-3．
過P作PN⊥x軸交直線BC于點M，設P（x，x²-2x-3）則M（x，x-3）
∴MP=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x
S_△BPC=S_△PCM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$PM•ON+$\frac{1}{2}$PM•NB
=$\frac{1}{2}$PM•OB=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$（0＜x＜3）．
當x=$\frac{3}{2}$時，S_△BPC的最大值為$\frac{27}{8}$，則 S_{四邊形ABPC}的最大值為：$\frac{27}{8}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{8}$，
此時P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）BC的中點坐標是（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
設線段BC的中垂線的解析式是y=-x+c，則-$\frac{3}{2}$+c=-$\frac{3}{2}$，
解得c=0，
即BC的中垂線的解析式是y=-x．
根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\{y=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\\{y=-\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{array}\right.$．
則Q的坐標是：Q₁（$\frac{{1+\sqrt{13}}}{2}$，-$\frac{{1+\sqrt{13}}}{2}$）、Q₂（$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$，-$\frac{{1-\sqrt{13}}}{2}$）．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數的解析式以及利用二次函數求最值問題，求實際問題的最值問題常用的解題思路是轉化為函數問題解決．