Question

5．如圖，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c與x軸交于另一點(diǎn)A，線段BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸l相交于點(diǎn)D，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AD，線段AD與y軸相交于點(diǎn)E．
（1）求該拋物線的解析式及對(duì)稱(chēng)軸；
（2）連結(jié)AP，請(qǐng)?jiān)趛軸正半軸上找一點(diǎn)Q，使Q、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ADP全等，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）將∠CED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EC旋轉(zhuǎn)后與線段BC相交于點(diǎn)M，邊ED旋轉(zhuǎn)后與對(duì)稱(chēng)軸l相交于點(diǎn)N，若2DM=DN，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線經(jīng)過(guò)的三點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）考慮直接用SSS判定兩三角形全等的方法來(lái)求解．
（3）根據(jù)B、D的坐標(biāo)，容易判斷出△CDE是等邊三角形，然后通過(guò)證△CEM、△DEN全等來(lái)得出CM=DN，首先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出PM、CM的長(zhǎng)，由PM=2DN=2CM列方程確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3與x軸、y軸分別交于B、C 兩點(diǎn)，
∴B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3），
∵拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-\frac{1}{3}×（3\sqrt{3}）^{2}+3\sqrt{3}b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+3．
對(duì)稱(chēng)軸為直線x=$\sqrt{3}$；

（2）如圖1，∵B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，3），
∴∠OBC═30°．
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，可得∠ADP=120°，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，2）．
∴DP=CD=2，AD=4．
在y軸正方向上取點(diǎn)Q，且CQ=4，
∴△QCD≌△ADP，
∴Q的坐標(biāo)為（0，7）．   

（3）由（2）知，可得△CED為等邊三角形，
①當(dāng)點(diǎn)M在線段CD上時(shí)，如圖2
可證△CEM≌△DEN，
∴CM=DN，
∵2DM=DN，
∴CM=2DM，CD=2，
∴DM=$\frac{1}{3}$CD=$\frac{2}{3}$，CM=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{4}{3}$．
作MH⊥y軸于H，則CH=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{2}{3}$，MH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OH=OC-CH=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$
∴M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{7}{3}$）；
②當(dāng)點(diǎn)M在線段DB上時(shí)，如圖3，
可證△CEM≌△DEN，
可得2DM=2CD=CM=DN=4，△CEM和△DEN為Rt△
∴CE=2，OE=CO-OE=1，EM=2$\sqrt{3}$
∴M（2$\sqrt{3}$，1），
綜上，M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{7}{3}$）或M（$2\sqrt{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到：函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)以及全等三角形的應(yīng)用等重點(diǎn)知識(shí)．在解題時(shí)，一定要注意從圖中找出合適的解題思路；能否將瑣碎的知識(shí)運(yùn)用到同一題目中進(jìn)行解答，也是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握情況的重點(diǎn)考查．