Question

17．如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），DP交AC于點(diǎn)Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）當(dāng)PD⊥AC時(shí)，求線段PA的長度；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上時(shí)，求sin∠CPB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)垂直的定義、相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；
（3）連接PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PA，設(shè)PA=x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ；
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，
∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，
∴△DAP∽△CDA，
∴$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AD}{DC}$，即$\frac{AP}{5}$=$\frac{5}{10}$，
解得，AP=$\frac{5}{2}$；
（3）解：連接PC，
∵點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，
∴PC=PA，
設(shè)PA=x，則PC=x，PB=10-x，
由勾股定理得，PC²=PB²+BC²，即x²=（10-x）²+25，
解得，x=$\frac{25}{4}$，
∴PC=PA=$\frac{25}{4}$，
∴sin∠CPB=$\frac{BC}{PC}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，掌握相關(guān)的定理、性質(zhì)、定義是解題的關(guān)鍵．