Question

19．如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=12，高AD=10，矩形EFPQ的一邊QP邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；
（2）設(shè)BF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值；
（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形以每秒1個(gè)單位的速度沿射線QC勻速運(yùn)動（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動），設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF∥QP，再由AD⊥BC可得出AH⊥EF，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）先用x表示出AH的長，再由S_矩形EFPQ=EF•EQ可得出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）先求出PC及QC的長，再分0≤t≤5，5≤t＜6及6≤t≤11三種情況進(jìn)行討論即可．

解答 （1）證明：∵四邊形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP．
∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；

（2）解：∵由（1）得，$\frac{AH}{10}$=$\frac{x}{12}$，
∴AH=$\frac{5}{6}$x，
∴EQ=HD=AD-AH=10-$\frac{5}{6}$x，
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（10-$\frac{5}{6}$x）=-$\frac{5}{6}$x²+10x=-$\frac{5}{6}$（x-6）²+30，
∵-$\frac{5}{6}$＜0，
∴當(dāng)x=6時(shí)，S_矩形EFPQ有最大值，最大值為30．

（3）解：如圖1，由（2）得，EF=6，EQ=5，
∵∠C=45°，
∴△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=PF=EQ=5，QC=QP+PC=11，
分三種情況進(jìn)行討論：
①如圖2所示，當(dāng)0≤t≤5時(shí)，設(shè)EF、PF分別交AC于點(diǎn)M，則△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S_矩形EFPQ-S_△MFN=30-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{1}{2}$t²+30；
②如圖3，當(dāng)5≤t＜6時(shí)，則ME=6-t，QC=11-t，
∴S=S梯形EMCQ=$\frac{1}{2}$[（6-t）+（11-t）]×5=-5t+$\frac{85}{2}$；
③如圖4，當(dāng)6≤t≤11時(shí)，設(shè)EQ交AC于點(diǎn)K，則△KQC是等腰直角三角形，則KQ=QC=11-t，
∴S=S_△KQC=$\frac{1}{2}$（11-t）²，
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{t}^{2}+30（0≤t＜5）\\-5t+\frac{85}{2}（5≤t＜6）\\ \frac{1}{2}（t-1）^{2}（6≤t≤11）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)的最值問題，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．