Question

5．如圖，M、N分別為△ABC中AB、BC邊上的點(diǎn)，$\frac{AM}{BM}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{CN}{BN}$=$\frac{4}{5}$，MN與中線BD相交于點(diǎn)O，求$\frac{DO}{BO}$的值．

Answer 1

分析 如圖，作AE∥NM，交BD的延長線于E，作CF∥NM交BD于F，設(shè)OB=a，OD=b．首先證明DE=DF，設(shè)DE=DF=m，由OM∥AE，得$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BO}{OE}$，得到$\frac{a}{b+m}$=$\frac{2}{3}$，即3a=2b+2m    ①由ON∥CF，得$\frac{OB}{OF}$=$\frac{BN}{NC}$，得$\frac{a}{b-m}$=$\frac{5}{4}$，即4a=5b-5m    ②，由①②消去m，即可解決問題．

解答 解：如圖，作AE∥NM，交BD的延長線于E，作CF∥NM交BD于F，設(shè)OB=a，OD=b．

∵AE∥MN，CF∥MN，
∴AE∥CF，
∴∠DAE=∠DCF，
∵BD是中線，
∴AD=DC，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DCF}\\{AD=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，設(shè)DE=DF=m，
∵OM∥AE，
∴$\frac{BM}{AM}$=$\frac{BO}{OE}$，
∴$\frac{a}{b+m}$=$\frac{2}{3}$，
∴3a=2b+2m    ①
∵ON∥CF，
∴$\frac{OB}{OF}$=$\frac{BN}{NC}$，
∴$\frac{a}{b-m}$=$\frac{5}{4}$，
∴4a=5b-5m    ②
①×5+②×2得，23a=20b，
∴$\frac{a}$=$\frac{20}{23}$，
∴$\frac{DO}{OB}$=$\frac{23}{20}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，題目比較難，屬于中考壓軸題．