【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓,⊙O與斜邊AC交于D,過(guò)D作DH⊥AB于H,又過(guò)D作直線DE交BC于點(diǎn)E,使∠HDE=2∠A.

(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求證:OE是Rt△ABC的中位線.

【答案】
(1)證明:連接OD,

則∠HOD=2∠A,

已知∠HDE=2∠A,

則∠HOD=∠HDE,

∵HD⊥AB,

∴∠HOD+∠HDO=90°,

∴∠HDE+∠HDO=90°,

即OD⊥DE,

又OD是半徑,

∴DE是⊙O的切線


(2)證明:∵DE是⊙O的切線,∠ABC=90°,

∴∠OBE=∠ODE=90°,

又OB=OD,OE=OE,

∴Rt△BOE≌Rt△DOE,

∴∠BOE=∠DOE,

∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE,

又∠HOD=2∠A,

∴∠BOE=∠A,

∴OE∥AD,

而O是AB的中點(diǎn),

故OE是Rt△ABC的中位線.


【解析】(1)連接OD,利用同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半,得到∠HOD=2∠A,然后用等量代換得到∠ODE=90°,證明DE是⊙ O的切線.
(2)利用(1)的結(jié)論有∠ODE=90°,又已知∠OBE=90°,證明△BOE≌△DOE,得到∠BOE=∠A,所以O(shè)E∥AD,得到點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),可以證明OE是△ABC的中位線.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解三角形中位線定理的相關(guān)知識(shí),掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半,以及對(duì)圓周角定理的理解,了解頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)寫出將ABC平移后,ABCA、B、C分別對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A1B1、C1的坐標(biāo),并畫出A1B1C1
2)若ABC外有一點(diǎn)M經(jīng)過(guò)同樣的平移后得到點(diǎn)M15,3),寫出M點(diǎn)的坐標(biāo) ,若連接線段MM1、PP1,則這兩條線段之間的關(guān)系是

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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1)如圖,若,求的度數(shù).

2)若,則的度數(shù)為 .

3)由(1)和(2),我們發(fā)現(xiàn)之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?

4)若將三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置,試問(wèn)之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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1)四邊形ABCD的面積為   ;(提示:小學(xué)已學(xué)過(guò)梯形面積計(jì)算方法)

2)設(shè)四邊形ABCD被直線l掃過(guò)的面積(陰影部分)為S,請(qǐng)寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式.

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你同意小鵬的觀點(diǎn)嗎?如果你同意小鵬的觀點(diǎn),試結(jié)合題意寫出已知和求證,并證明.

已知:中,____________,________________________

求證:OP平分

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