Question

6．如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB，AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為α．在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE，DG．

（1）當正方形AEFG旋轉至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；
（2）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=3$\sqrt{3}$．
①求BE的長；②求點A到BE的距離；
（3）當點C落在直線BE上時，連接FC，直接寫出∠FCD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”證明△ABE≌△ADG，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；
（2））①作BN⊥AE于點N，根據(jù)勾股定理得出AN=BN=$\sqrt{2}$，在△BEN中，根據(jù)勾股定理即可得出結論；
②作AM⊥BE于點M，根據(jù)S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$BE•AM=3即可得出結論；
（3）分兩種情況：①E在BC的右邊，連接AC，AF，CF，利用點A，C，E，F(xiàn)四點共圓求解，②E在BC的左邊，連接AC，AF，F(xiàn)G，CG，首先確定DG和CG在同一條直線上，再利用點A，C，G，F(xiàn)四點共圓求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，
又∵四邊形AEFG是正方形，
∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG．
在△ABE與△ADG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AE=AG\\∠BAE=∠DAG=α\\ AB=AD\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）①如圖1，作BN⊥AE于點N，
∵∠BAN=45°，AB=2，
∴AN=BN=$\sqrt{2}$．
在△BEN中，
∵BN=$\sqrt{2}$，NE=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{31-6\sqrt{6}}$；
②如圖1，作AM⊥BE于點M，則S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
又∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{31-6\sqrt{6}}$×AM=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴AM=$\frac{6\sqrt{44-9\sqrt{6}}}{31-6\sqrt{6}}$，即點A到BE的距離為$\frac{6\sqrt{44-9\sqrt{6}}}{31-6\sqrt{6}}$．

（3）解：①如圖2，連接AC，AF，CF，
∵四邊形ABCD與AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFE=45°，
∵∠DCE=90°
∴點A，C，E，F(xiàn)四點共圓，
∵∠AEF是直角，
∴AF是直徑，
∴∠ACF=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠FCD=45°
②如圖3，連接AC，AF，F(xiàn)G，CG
由（1）知∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG=90°，
∴DG和CG在同一條直線上，
∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，
∵四邊形ABCD與AEFG是正方形，
∴∠BAC=∠FAG=45°，
∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，
∴∠AGD+∠GAC=45°，
∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，
∴點A，C，G，F(xiàn)四點共圓，
∵∠AGF是直角，
∴AF是直徑，
∴∠ACF=90°，
∴∠FCD=90°+45°=135°
綜上所述，∠FCD的度數(shù)為45°或135°．

點評 本題主要考查了幾何變換綜合題．涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等積式及四點共圓周的知識，綜合性強，解題的關鍵是運用等積式及四點共圓周判定及性質(zhì)求解．